Задание 3 · Стереометрия (краткий ответ)

3.7. Пирамида

Для репетитора: показать ответы

1. Что такое пирамида

Пирамида — многогранник, у которого одна грань (основание) — произвольный многоугольник, а остальные грани (боковые) — треугольники с общей вершиной $S$, не лежащей в плоскости основания. Если в основании $n$-угольник, у пирамиды $n$ боковых граней.

Боковые рёбра — отрезки от вершины $S$ до вершин основания.
Высота $h$ — перпендикуляр, опущенный из вершины на плоскость основания.
Диагональное сечение — сечение плоскостью, проходящей через вершину и диагональ основания.
Треугольная пирамида называется тетраэдром (четырёхгранником).

2. Правильная пирамида

Пирамида правильная, если в основании лежит правильный многоугольник, а высота проходит через его центр (центр описанной окружности основания).

Все боковые рёбра равны, а боковые грани — равные равнобедренные треугольники.
Апофема $a$ — высота боковой грани, проведённая из вершины пирамиды.
Если все боковые рёбра пирамиды равны, то высота проходит через центр окружности, описанной около основания, а рёбра одинаково наклонены к плоскости основания.
Если все боковые грани одинаково наклонены к основанию, то высота проходит через центр окружности, вписанной в основание.

Правильный тетраэдр — пирамида, у которой все шесть рёбер равны, то есть все четыре грани — равносторонние треугольники.

3. Объём и площади поверхности

Величина	Формула
Объём любой пирамиды	$V=\dfrac13S_{\text{осн}}\cdot h$
Площадь полной поверхности	$S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}$ (сумма площадей всех граней)
Боковая поверхность правильной пирамиды	$S_{\text{бок}}=\dfrac12P\cdot a$, где $P$ — периметр основания, $a$ — апофема

Объём правильных пирамид со стороной основания $a$ и высотой $h$

Пирамида	Объём
Правильный тетраэдр (все рёбра $a$)	$V=\dfrac{\sqrt2}{12}a^3$
Правильная треугольная	$V=\dfrac{\sqrt3}{12}a^2h$
Правильная четырёхугольная	$V=\dfrac13a^2h$
Правильная шестиугольная	$V=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2h$

4. Усечённая пирамида

Если пирамиду пересечь плоскостью, параллельной основанию, то отсечённая часть — меньшая пирамида, подобная исходной. Оставшаяся часть — усечённая пирамида: её верхнее основание — это сечение, нижнее — основание исходной пирамиды. Высота усечённой пирамиды — расстояние между плоскостями оснований.

Боковая поверхность правильной усечённой пирамиды: $S_{\text{бок}}=\dfrac{P_1+P_2}{2}\cdot a$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, $a$ — апофема.

5. Какие приёмы используются в задачах №3

Аналитический путь: подставить данные в формулы объёма и площади (см. таблицы выше).
Геометрический путь: теорема Пифагора в прямоугольном треугольнике, где одной из сторон служит высота пирамиды, и подобие.
Если пирамиду «срезали» плоскостью, параллельной основанию, отсечённая часть подобна исходной: отношение длин $k$, площадей $k^2$, объёмов $k^3$.

Лайфхак 1. Подобие вместо вычислений. У отсечённой пирамиды линейные размеры меняются в $k$ раз, площади — в $k^2$, объёмы — в $k^3$. Если высоту уменьшили в 4 раза, объём уменьшится в 64 раза, и считать ничего не нужно.

Лайфхак 2. Запомните готовые объёмы. Для правильных тетраэдра, треугольной, четырёхугольной и шестиугольной пирамид формулы из таблицы выше сразу дают объём по стороне основания и высоте, без нахождения площади основания.

Лайфхак 3. Равные рёбра — центр описанной окружности. Если все боковые рёбра равны, высота падает в центр окружности, описанной около основания. Для прямоугольника это точка пересечения диагоналей, для прямоугольного треугольника — середина гипотенузы.

Разобранные примеры

Пример 1

Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в три раза?

Решение

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия. Поэтому если все ребра увеличить в 3 раза, объём увеличится в 27 раз.

Ответ: 27.

Пример 2

Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 22 раза?

Решение

При увеличении ребер в 22 раза, площади треугольников, образующих грани октаэдра, увеличатся в 484 раза, поэтому суммарная площадь поверхности также увеличится в 484 раза.

Ответ: 484.

Пример 3

Объем треугольной пирамиды равен 15. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.

Решение

При одинаковой площади основания большим объемом будет обладать та часть, высота которой больше, то есть нижняя. Объем данной пирамиды относится к объему исходной как 2 : 3, поэтому он равен 10.

Ответ: 10.

Источники

«Пирамида (геометрия)», Знание.Вики (znanierussia.ru), редакция 2025
«Стереометрия ЕГЭ 2023. Объёмы и площади поверхностей», Школково (shkolkovo.online)
«Стереометрия», материалы для подготовки к ЕГЭ, egeturbo.ru
«Геометрия. Тела и поверхности вращения», Н. В. Андрафанова, iro23.ru, 2024
«Шары и многогранники», В. П. Чуваков, учебно-методическое пособие, 2016

У1
В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S биссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.
У2
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 4; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.
У3
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O  — центр основания, S  — вершина, SB  =  13, AC  =  24. Найдите длину отрезка SO.
У4
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O  — центр основания, S  — вершина, $SD=10,$ $SO=6.$ Найдите длину отрезка $AC.$
У5
В правильной треугольной пирамиде SABC точка M  — середина ребра AB, S  — вершина. Известно, что BC  =  3, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 45. Найдите длину отрезка SM.
У6
В правильной треугольной пирамиде SABC точка K  — середина ребра BC, S  — вершина. Известно, что SK  =  4, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 54. Найдите длину ребра AC.
У7
В правильной треугольной пирамиде SABC точка Q  — середина ребра AB, S  — вершина. Известно, что BC  =  7, а площадь боковой поверхности пирамиды равна 42. Найдите длину отрезка $SQ.$
У8
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
У9
Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
У10
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 1, а высота равна $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
У11
Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в четыре раза?
У12
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 6. Найдите объем пирамиды.
У13
Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды $SABCDEF,$ равен 1. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
У14
От треугольной пирамиды, объем которой равен 12, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
У15
Во сколько раз увеличится площадь поверхности октаэдра, если все его ребра увеличить в 3 раза?
У16
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка O  — центр основания, S  — вершина, SO  =  14, SD  =  50. Найдите длину отрезка AC.
У17
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 14, боковые ребра равны 25. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
У18
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 4 и 5. Ее объем равен 80. Найдите высоту этой пирамиды.
У19
Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 8, а объем равен $4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
У20
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 3, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
У21
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 27. Найдите объем пирамиды.
У22
Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 132. Точка E  — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.
У23
Объем треугольной пирамиды равен 38. Плоскость проходит через сторону основания этой пирамиды и пересекает противоположное боковое ребро в точке, делящей его в отношении 9:10, считая от вершины пирамиды. Найдите больший из объемов пирамид, на которые плоскость разбивает исходную пирамиду.
У24
Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды,  стороны основания которой равны 48 и высота равна 7.
У25
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 60, боковые ребра равны 78. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
У26
Во сколько раз увеличится объем правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в шестнадцать раз?
У27
Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 5, а объем равен $6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
У28
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 4, боковое ребро равно 13. Найдите ее объем.
У29
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 24. Найдите объем пирамиды.
У30
Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 116. Точка E  — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.

Д1
В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 5. Найдите длину отрезка OS.
Д2
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O  — центр основания, S  — вершина, $SO=15,$ $BD=16.$ Найдите боковое ребро $SA.$
Д3
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O  — центр основания, S  — вершина, $SO=8,$ $BD=30.$ Найдите боковое ребро $SC.$
Д4
В правильной четырехугольной пирамиде SABCD точка O  — центр основания, S  — вершина, SO  =  12, BD  =  18. Найдите боковое ребро $SA.$
Д5
В правильной треугольной пирамиде SABC точка L  — середина ребра AC, S  — вершина. Известно, что BC  =  6, а SL  =  5. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Д6
В правильной треугольной пирамиде SABC P  — середина ребра AB, S  — вершина. Известно, что BC  =  5, а SP  =  6. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.
Д7
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Д8
Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды $ABCA_1.$
Д9
Основанием пирамиды является прямоугольник со сторонами 3 и 4. Ее объем равен 16. Найдите высоту этой пирамиды.
Д10
Найдите высоту правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 2, а объем равен $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
Д11
В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем.
Д12
Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды.
Д13
Объем правильной четырехугольной пирамиды SABCD равен 12. Точка E  — середина ребра SB. Найдите объем треугольной пирамиды EABC.
Д14
Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в два раза?
Д15
В правильной четырёхугольной пирамиде высота равна 2, боковое ребро равно 5. Найдите её объём.
Д16
Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды.
Д17
Объем параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды $ABDA_1.$
Д18
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 3, а высота равна $6 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
Д19
Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в тридцать один раз?
Д20
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 9. Найдите объем пирамиды.
Д21
Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 48. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
Д22
От треугольной пирамиды, объем которой равен 70, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.
Д23
Во сколько раз увеличится площадь поверхности правильного тетраэдра, если все его ребра увеличить в 36 раз?
Д24
В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD точка $O$   — центр основания, $S$   — вершина, $SO=24,SD=26.$ Найдите длину отрезка AC .
Д25
Стороны основания правильной шестиугольной пирамиды равны 48, боковые ребра равны 51. Найдите площадь боковой поверхности этой пирамиды.
Д26
Найдите объем правильной треугольной пирамиды, стороны основания которой равны 11, а высота равна $4 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента .$
Д27
Во сколько раз увеличится объем пирамиды, если ее высоту увеличить в двенадцать раз?
Д28
Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания, а три другие боковые грани наклонены к плоскости основания под углом 60°. Высота пирамиды равна 12. Найдите объем пирамиды.
Д29
Объем треугольной пирамиды SABC, являющейся частью правильной шестиугольной пирамиды SABCDEF, равен 21. Найдите объем шестиугольной пирамиды.
Д30
От треугольной пирамиды, объем которой равен 100, отсечена треугольная пирамида плоскостью, проходящей через вершину пирамиды и среднюю линию основания. Найдите объем отсеченной треугольной пирамиды.

Величина	Формула
Объём любой пирамиды	\(V=\dfrac13S_{\text{осн}}\cdot h\)
Площадь полной поверхности	\(S_{\text{полн}}=S_{\text{бок}}+S_{\text{осн}}\) (сумма площадей всех граней)
Боковая поверхность правильной пирамиды	\(S_{\text{бок}}=\dfrac12P\cdot a\), где \(P\) — периметр основания, \(a\) — апофема

Пирамида	Объём
Правильный тетраэдр (все рёбра \(a\))	\(V=\dfrac{\sqrt2}{12}a^3\)
Правильная треугольная	\(V=\dfrac{\sqrt3}{12}a^2h\)
Правильная четырёхугольная	\(V=\dfrac13a^2h\)
Правильная шестиугольная	\(V=\dfrac{\sqrt3}{2}a^2h\)

3.7. Пирамида

1. Что такое пирамида

2. Правильная пирамида

3. Объём и площади поверхности

Объём правильных пирамид со стороной основания \(a\) и высотой \(h\)

4. Усечённая пирамида

5. Какие приёмы используются в задачах №3

Разобранные примеры