Задание 3 · Стереометрия (краткий ответ)

3.8. Комбинации тел

Для репетитора: показать ответы

1. Что значит «вписанное» и «описанное» тело

В задачах №3 одно тело помещено внутрь другого: шар в куб, призма в цилиндр, конус в шар и так далее. Чтобы решить такую задачу, нужно понять, какие размеры двух тел совпадают, и связать их через осевое сечение или теорему Пифагора.

Шар (сфера) описан около многогранника — все вершины многогранника лежат на сфере.
Шар вписан в многогранник — шар касается всех граней, центр шара равноудалён от всех граней.
Призма вписана в цилиндр — основания призмы вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра призмы — образующие цилиндра.
Цилиндр вписан в призму — основания призмы описаны около оснований цилиндра, а грани призмы касаются боковой поверхности цилиндра.
Пирамида вписана в конус — основание пирамиды вписано в окружность основания конуса, а вершина общая. Для описанной пирамиды основание описано около основания конуса.

2. Шар и многогранники

Шар, описанный около многогранника

Около пирамиды можно описать сферу тогда и только тогда, когда около её основания можно описать окружность. Центр сферы лежит на перпендикуляре к основанию, проведённом через центр этой окружности.
Около призмы сферу можно описать, если призма прямая и около её основания можно описать окружность. Центр сферы — середина отрезка, соединяющего центры окружностей оснований.
Около любой треугольной пирамиды можно описать сферу.
Около правильной усечённой пирамиды можно описать шар.

Шар, вписанный в многогранник

Центр вписанного шара — точка, равноудалённая от всех граней; она лежит на пересечении биссекторных плоскостей двугранных углов.
В прямую призму шар можно вписать тогда и только тогда, когда в основание вписывается окружность, а высота призмы равна диаметру этой окружности: $H=2r$.
В правильную пирамиду шар вписать всегда можно; его центр лежит на высоте. Вообще шар вписывается в пирамиду, если все боковые грани одинаково наклонены к основанию.
Радиус шара, вписанного в пирамиду: $r=\dfrac{3V}{S_{\text{полн}}}$, так как $V=\dfrac13S_{\text{полн}}\cdot r$.

Готовые соотношения

Тело	Радиус описанного шара $R$	Радиус вписанного шара $r$
Куб с ребром $a$	$\dfrac{a\sqrt3}{2}$ (половина диагонали куба)	$\dfrac a2$
Прямоугольный параллелепипед	половина его диагонали	—
Правильный тетраэдр с ребром $a$	$\dfrac{a\sqrt6}{4}$	$\dfrac{a\sqrt6}{12}$

3. Шар и тела вращения

Шар можно описать около цилиндра, конуса и усечённого конуса (прямых круговых).
В любой прямой круговой конус шар вписать можно.
В прямой круговой цилиндр шар вписывается тогда и только тогда, когда цилиндр равносторонний (диаметр основания равен высоте). Тогда диаметр шара равен диаметру основания и высоте цилиндра.
Конус, вписанный в сферу так, что центр сферы совпадает с центром основания конуса, а вершина лежит на сфере: образующая $l=R\sqrt2$.

4. Цилиндр, конус, призма

Прямая призма, вписанная в цилиндр, имеет в основании многоугольник, вписанный в окружность. Если основание — прямоугольный треугольник, его гипотенуза — диаметр этой окружности: $d=\sqrt{a^2+b^2}$, $r=\dfrac d2$.
Конус вписан в цилиндр (общие основание и высота): $V_{\text{кон}}=\dfrac13V_{\text{цил}}$.
Цилиндр и конус с общим основанием и общей высотой при $h=r$: образующая конуса $l=r\sqrt2$, отношение боковых поверхностей цилиндра и конуса равно $\sqrt2$.
Цилиндр описан около шара: $V_{\text{цил}}=\dfrac32V_{\text{шара}}$.

5. Приёмы решения

Строим осевое сечение комбинации: в нём видны радиусы, высоты, образующие, и можно применить теорему Пифагора.
Подобие: при изменении всех размеров тела в $k$ раз площади меняются в $k^2$, объёмы — в $k^3$.
Перелив жидкости из сосуда в сосуд: объём жидкости сохраняется, $V_1=V_2$. Например, для цилиндрических сосудов $\pi r_1^2h_1=\pi r_2^2h_2$.
Погружение детали в жидкость: объём детали равен объёму вытесненной жидкости, $V_{\text{дет}}=S_{\text{осн}}\cdot\Delta h$, где $\Delta h$ — подъём уровня.

Лайфхак 1. Шар в кубе и куб около шара. Шар, вписанный в куб, имеет диаметр, равный ребру куба: $R=\dfrac a2$. Если куб описан около шара радиуса $R$, его ребро равно $2R$.

Лайфхак 2. Конус внутри цилиндра — ровно треть. Если у цилиндра и конуса общие основание и высота, то объём конуса втрое меньше объёма цилиндра. Дан один объём — второй получается устным делением или умножением на 3.

Лайфхак 3. Шар в цилиндре. Если цилиндр описан около шара, то объём цилиндра в $\dfrac32$ раза больше объёма шара: из 42 получается 28 сразу.

Лайфхак 4. Прямоугольный треугольник в основании. Для призмы, вписанной в цилиндр, гипотенуза основания — диаметр окружности основания цилиндра.

Разобранные примеры

Пример 1

Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 1. Найдите его площадь поверхности.

Решение

Высота и рёбра такого параллелепипеда равны диаметру сферы, поэтому это куб с ребром 2. Площадь его поверхности равна 6 · 4  =  24.

Ответ: 24.

Пример 2

Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.

Решение

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту, а объем конуса равен одной трети произведения площади основания на высоту. Поскольку они имеют общее основание и высоту, объем цилиндра в три раза больше объема конуса.

Ответ: 75.

Пример 3

В куб вписан шар радиуса 1. Найдите объем куба.

Решение

Ребро куба равно диаметру вписанного в него шара, а объем куба равен кубу его ребра. Отсюда имеем:

$V_к=2 в кубе =8.$

Ответ: 8.

Источники

«Геометрия. Тела и поверхности вращения», Н. В. Андрафанова, iro23.ru, 2024
«Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар», учебный проект для 11 класса, staff.tiiame.uz
«Шары и многогранники», В. П. Чуваков, учебно-методическое пособие, 2016
«Стереометрия», материалы для подготовки к ЕГЭ, egeturbo.ru
«Пирамида (геометрия)», Знание.Вики (znanierussia.ru), редакция 2025

У1
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 18. Найдите площадь поверхности шара.
У2
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.
У3
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны $дробь: числитель: 2, знаменатель: Пи конец дроби .$ Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
У4
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 150.
У5
Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 4 и высотой 6. Найдите его объем, деленный на $Пи .$
У6
В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на $Пи .$
У7
Вершина A куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром 1,6 является центром сферы, проходящей через точку A₁. Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину $S/ Пи .$
У8
Объём тетраэдра равен 19. Найдите объём многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.
У9
Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 24. Найдите объем цилиндра.
У10
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 28. Найдите объем конуса.
У11
Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.
У12
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 5. Найдите объем параллелепипеда.
У13
В куб вписан шар радиуса 7. Найдите объем куба.
У14
В основании прямой призмы лежит квадрат со стороной 2. Боковые ребра равны $дробь: числитель: 5, знаменатель: Пи конец дроби .$ Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
У15
Прямоугольный параллелепипед описан около единичной сферы. Найдите его площадь поверхности.
У16
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 114.
У17
Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 5. Найдите его объем, деленный на $Пи .$
У18
В куб с ребром 21 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на $Пи .$
У19
Вершина A куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $0.7$ является центром сферы, проходящей через точку $A_1.$ Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину $S/ Пи .$
У20
Объем тетраэдра равен $1,9.$ Найдите объем многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
У21
Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 102. Найдите объем шара.
У22
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 57.
У23
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 2. Найдите объем шара.
У24
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 6. Найдите площадь поверхности шара.
У25
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 3,5. Объем параллелепипеда равен 24,5. Найдите высоту цилиндра.
У26
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 42. Найдите объём цилиндра.
У27
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Найдите объем конуса, если объем цилиндра равен 138.
У28
Конус описан около правильной четырехугольной пирамиды со стороной основания 3 и высотой 13. Найдите его объем, деленный на π.
У29
Вершина A куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром $1,8$ является центром сферы, проходящей через точку $A_1.$ Найдите площадь S части сферы, содержащейся внутри куба. В ответе запишите величину $S/ Пи .$
У30
Шар вписан в цилиндр объемом 42. Найдите объем шара.

Д1
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите объем параллелепипеда.
Д2
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8. Боковые ребра равны $дробь: числитель: 5, знаменатель: Пи конец дроби .$ Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
Д3
Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.
Д4
Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.
Д5
Во сколько раз объем конуса, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, больше объема конуса, вписанного в эту пирамиду?
Д6
Около куба с ребром $корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента$ описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на π.
Д7
Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите $S/ Пи .$
Д8
Цилиндр описан около шара. Объем цилиндра равен 33. Найдите объем шара.
Д9
Конус и цилиндр имеют общее основание и общую высоту (конус вписан в цилиндр). Вычислите объём цилиндра, если объём конуса равен 5.
Д10
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем конуса равен 6. Найдите объем шара.
Д11
Шар вписан в цилиндр. Площадь полной поверхности цилиндра равна 111. Найдите площадь поверхности шара.
Д12
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания которого равен 4. Объем параллелепипеда равен 16. Найдите высоту цилиндра.
Д13
В основании прямой призмы лежит прямоугольный треугольник с катетами 4 и 1. Боковые ребра равны $дробь: числитель: 2, знаменатель: Пи конец дроби ..$ Найдите объем цилиндра, описанного около этой призмы.
Д14
Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту. Объём конуса равен 25. Найдите объём цилиндра.
Д15
Из единичного куба вырезана правильная четырёхугольная призма со стороной основания 0,8 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба
Д16
Объём куба, описанного около сферы, равен 10648. Найдите радиус сферы.
Д17
Объём конуса, вписанного в правильную четырёхугольную пирамиду, равен 3. Найдите объём конуса, описанного около этой пирамиды.
Д18
Около куба с ребром $корень из: начало аргумента: 243 конец аргумента$  описан шар. Найдите объем этого шара, деленный на $Пи .$
Д19
Середина ребра куба со стороной 1,9 является центром шара радиуса 0,95. Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите $S/ Пи .$
Д20
Площадь поверхности тетраэдра равна 1,2. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины сторон данного тетраэдра.
Д21
Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 38. Найдите объем цилиндра.
Д22
Конус вписан в шар. Радиус основания конуса равен радиусу шара. Объем шара равен 116. Найдите объем конуса.
Д23
Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 5. Площадь боковой поверхности призмы равна 40. Найдите высоту цилиндра.
Д24
Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 18. Найдите объем параллелепипеда.
Д25
В куб вписан шар радиуса 3. Найдите объем куба.
Д26
Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиусом 2. Найдите площадь его поверхности.
Д27
Объём куба, описанного около сферы, равен 1331. Найдите радиус сферы.
Д28
Объём конуса, описанного около правильной четырёхугольной пирамиды, равен 76. Найдите объём конуса, вписанного в эту пирамиду.
Д29
Середина ребра куба со стороной $0.8$ является центром шара радиуса $0.4.$ Найдите площадь S части поверхности шара, лежащей внутри куба. В ответе запишите $S/ Пи .$
Д30
Цилиндр описан около шара. Объем шара равен 50. Найдите объем цилиндра.

Тело	Радиус описанного шара \(R\)	Радиус вписанного шара \(r\)
Куб с ребром \(a\)	\(\dfrac{a\sqrt3}{2}\) (половина диагонали куба)	\(\dfrac a2\)
Прямоугольный параллелепипед	половина его диагонали	—
Правильный тетраэдр с ребром \(a\)	\(\dfrac{a\sqrt6}{4}\)	\(\dfrac{a\sqrt6}{12}\)