Задание 3 · Стереометрия (краткий ответ)

3.9. Цилиндр

Для репетитора: показать ответы

1. Что такое цилиндр

Прямой круговой цилиндр получается вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. Его основания — два равных круга, лежащих в параллельных плоскостях.

Радиус $r$ — радиус основания.
Образующая — отрезок, соединяющий соответствующие точки окружностей оснований; у прямого цилиндра она перпендикулярна основаниям и равна высоте.
Высота $h$ — расстояние между плоскостями оснований.
Ось — прямая $O_1O_2$, проходящая через центры оснований.
Равносторонний цилиндр — цилиндр, у которого диаметр основания равен высоте: $h=2r$.

2. Формулы

Величина	Формула
Длина окружности основания	$C=2\pi r$
Площадь основания	$S_{\text{осн}}=\pi r^2$
Боковая поверхность	$S_{\text{бок}}=2\pi rh$
Полная поверхность	$S_{\text{полн}}=2\pi r(r+h)=2\pi rh+2\pi r^2$
Объём	$V=\pi r^2h$

Боковая поверхность — это развёртка в виде прямоугольника со сторонами $h$ и $2\pi r$, поэтому её площадь $2\pi r\cdot h$. Объём — площадь основания, умноженная на высоту, как у любой призмы.

3. Сечения цилиндра

Осевое сечение (через ось) — прямоугольник, одна сторона которого равна диаметру основания $2r$, другая — высоте $h$. Диагональ этого прямоугольника: $d=\sqrt{4r^2+h^2}$.
Сечение плоскостью, параллельной оси, — тоже прямоугольник (одна сторона — высота цилиндра, другая — хорда основания).
Сечение плоскостью, перпендикулярной оси, — круг, равный основанию.

4. Цилиндр и другие тела

Призма вписана в цилиндр, если её основания вписаны в основания цилиндра, а боковые рёбра — образующие. Если основание призмы — прямоугольный треугольник, его гипотенуза равна диаметру основания цилиндра.
Цилиндр вписан в призму, если основания призмы описаны около оснований цилиндра, а боковые грани касаются цилиндра.
Шар можно вписать в цилиндр, только если он равносторонний; диаметр шара тогда равен диаметру основания и высоте цилиндра.
Конус с тем же основанием и той же высотой, что у цилиндра, имеет объём втрое меньше: $V_{\text{кон}}=\dfrac13V_{\text{цил}}$.
Цилиндр, описанный около шара, имеет объём в $\dfrac32$ раза больше объёма шара.

5. Типичные приёмы в задачах №3

Изменение размеров. Объём $V=\pi r^2h$ пропорционален $r^2$ и $h$. Если радиус увеличить в 8 раз при той же высоте, объём вырастет в 64 раза. Если высоту увеличить в $m$ раз, объём вырастет в $m$ раз.
Перелив жидкости. Объём жидкости сохраняется: $\pi r_1^2h_1=\pi r_2^2h_2$. Отсюда высота уровня в другом сосуде.
Погружение детали. Объём детали равен объёму вытесненной жидкости: $V_{\text{дет}}=\pi r^2\cdot\Delta h$, где $\Delta h$ — подъём уровня.
Осевое сечение и теорема Пифагора в нём связывают радиус, высоту и диагональ.

Лайфхак 1. Одна величина «в k раз» — смотрим на степень. В формуле объёма радиус стоит во 2-й степени, высота — в первой. Радиус в 2 раза больше — объём в 4 раза больше; высота в 2 раза больше — объём в 2 раза больше.

Лайфхак 2. Развёртка — прямоугольник. Боковая поверхность цилиндра разворачивается в прямоугольник со сторонами $h$ и $2\pi r$; окружность основания — одна из его сторон.

Лайфхак 3. Конус в цилиндре — треть. Если у конуса и цилиндра общие основание и высота, то $V_{\text{кон}}=\dfrac13V_{\text{цил}}$: дано $V_{\text{цил}}=162$ — сразу $V_{\text{кон}}=54$.

Лайфхак 4. Объём деталей и жидкости. Для задач про уровень воды не нужны сами радиусы: приравнивайте объёмы и сокращайте общий множитель $\pi$.

Разобранные примеры

Пример 1

В цилиндрический сосуд, в котором находится 10 литров воды, опущена деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся в 1,9 раза. Чему равен объем детали? Ответ выразите в литрах.

Решение

Объем детали равен объему вытесненной ею жидкости. Объем вытесненной жидкости равен 9/10 исходного объема, поэтому объем детали равен 9 л.

Ответ: 9.

Пример 2

Длина окружности основания цилиндра равна 3. Площадь боковой поверхности равна 6. Найдите высоту цилиндра.

Решение

Площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности, лежащей в основании, на высоту. Поэтому высота цилиндра равна 2.

Ответ: 2.

Пример 3

Радиус основания цилиндра равен 2, высота равна 3. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на $Пи .$

Решение

Площадь боковой поверхности цилиндра  $S=2 Пи rH,$ поэтому $S=2 Пи умножить на 2 умножить на 3=12 Пи .$

Ответ: 12.

Источники

«Геометрия. Тела и поверхности вращения», Н. В. Андрафанова, iro23.ru, 2024
«Цилиндр и конус», урок-практикум, 11 класс, infourok.ru
«Стереометрия ЕГЭ 2023. Объёмы и площади поверхностей», Школково (shkolkovo.online)
«Стереометрия», материалы для подготовки к ЕГЭ, egeturbo.ru
«Разные задачи на многогранники, цилиндр, конус и шар», учебный проект для 11 класса, staff.tiiame.uz

У1
В цилиндрический сосуд налили 2000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.
У2
Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания  — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
У3
Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объема второй кружки к объему первой.
У4
Площадь осевого сечения цилиндра равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на $Пи .$
У5
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите $дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби .$
У6
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите $дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби .$
У7
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите $дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби .$
У8
Площадь боковой поверхности цилиндра равна $2 Пи ,$ а высота  — 1. Найдите диаметр основания.
У9
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 8 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ выразите в сантиметрах.
У10
Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 4. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
У11
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите  $V/ Пи .$
У12
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите  $V/ Пи .$
У13
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 21 $Пи ,$ а диаметр основания равен 7. Найдите высоту цилиндра.
У14
В цилиндрический сосуд налили 1200 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 10 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.
У15
Объем первого цилиндра равен 30 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания  — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
У16
Площадь осевого сечения цилиндра равна 9. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на $Пи .$
У17
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 18 $Пи ,$ а диаметр основания равен 9. Найдите высоту цилиндра.
У18
В цилиндрический сосуд налили 1200 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 15 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 12 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.
У19
Объём первого цилиндра равен 6 м³. У второго цилиндра высота в два раза меньше, а радиус основания в три раза больше, чем у первого. Найди объём второго цилиндра (в м³).
У20
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 9 $Пи ,$ а диаметр основания равен 3. Найдите высоту цилиндра.
У21
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 147 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 7 раз больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.
У22
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15 $Пи ,$ а диаметр основания равен 5. Найдите высоту цилиндра.
У23
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 100 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 5 раз больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.
У24
В цилиндрический сосуд налили 1000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 20 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 4 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.
У25
Площадь боковой поверхности цилиндра равна $20 Пи ,$ а диаметр основания  — 5. Найдите высоту цилиндра.
У26
Площадь боковой поверхности цилиндра равна $40 Пи ,$ а диаметр основания равен 5. Найдите высоту цилиндра.

Д1
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 16 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 2 раза больше первого? Ответ дайте в сантиметрах.
Д2
В цилиндрический сосуд налили 6 куб. см воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,5 раза. Найдите объём детали. Ответ выразите в куб. см.
Д3
Длина окружности основания цилиндра равна 3, высота равна 2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.
Д4
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите  $дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби .$
Д5
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите $дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби .$
Д6
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите $дробь: числитель: V, знаменатель: Пи конец дроби .$
Д7
Площадь боковой поверхности цилиндра равна $2 Пи ,$ а диаметр основания  — 1. Найдите высоту цилиндра.
Д8
В цилиндрический сосуд налили 2000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 12 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 9 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.
Д9
Объем первого цилиндра равен 12 м³. У второго цилиндра высота в три раза больше, а радиус основания  — в два раза меньше, чем у первого. Найдите объем второго цилиндра. Ответ дайте в кубических метрах.
Д10
Площадь осевого сечения цилиндра равна 7. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, деленную на $Пи .$
Д11
Найдите объем V части цилиндра, изображенной на рисунке. В ответе укажите $V/ Пи .$
Д12
Площадь боковой поверхности цилиндра равна 14 $Пи ,$ а диаметр основания равен 2. Найдите высоту цилиндра.
Д13
Площадь боковой поверхности цилиндра равна $12 Пи ,$ а высота  — 2. Найдите диаметр основания.
Д14
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 180 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 6 раз больше первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Д15
В цилиндрический сосуд налили 600 см³ воды. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде увеличился в 1,6 раза. Найдите объем детали. Ответ выразите в см³.
Д16
Длина окружности основания цилиндра равна 14. Площадь боковой поверхности равна 182. Найдите высоту цилиндра.
Д17
Площадь боковой поверхности цилиндра равна $36 Пи ,$ а высота  — 4. Найдите диаметр основания.
Д18
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 128 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если ее перелить во второй сосуд, диаметр которого в 8 раз больше первого? Ответ выразите в сантиметрах.
Д19
Длина окружности основания цилиндра равна 1. Площадь боковой поверхности равна 2. Найдите высоту цилиндра.
Д20
В цилиндрический сосуд налили 2600 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 20 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 16 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³.
Д21
Длина окружности основания цилиндра равна 1. Площадь боковой поверхности равна 4. Найдите высоту цилиндра.
Д22
В цилиндрический сосуд налили 5000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 14 см. В жидкость полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 7 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в $\textrmсм в кубе .$
Д23
Площадь боковой поверхности цилиндра равна $16 Пи ,$ а диаметр основания  — 8. Найдите высоту цилиндра.
Д24
В цилиндрическом сосуде уровень жидкости достигает 384 см. На какой высоте будет находиться уровень жидкости, если её перелить во второй цилиндрический сосуд, диаметр которого в 8 раз больше диаметра первого? Ответ дайте в сантиметрах.
Д25
В цилиндрический сосуд налили 2200 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 16 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 6 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см³.
Д26
В цилиндрический сосуд налили 1800 см³ воды. Уровень жидкости оказался равным 12 см. В воду полностью погрузили деталь. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 2 см. Чему равен объём детали? Ответ выразите в см³.

Величина	Формула
Длина окружности основания	\(C=2\pi r\)
Площадь основания	\(S_{\text{осн}}=\pi r^2\)
Боковая поверхность	\(S_{\text{бок}}=2\pi rh\)
Полная поверхность	\(S_{\text{полн}}=2\pi r(r+h)=2\pi rh+2\pi r^2\)
Объём	\(V=\pi r^2h\)