Задание 4 · Начала теории вероятностей

4.1. Классическое определение вероятности

Для репетитора: показать ответы

1. Случайный опыт, исходы и события

Случайный опыт — это испытание, исход которого заранее неизвестен: бросок монеты или кубика, вытаскивание билета, выбор человека из группы. Простейшие результаты опыта называются элементарными исходами; сумма их вероятностей равна 1. Событие — набор исходов, которые нас интересуют.

Исходы равновозможны, если ни один из них не имеет преимущества (честная монета, правильный кубик, жеребьёвка).
Исходы, при которых событие \(A\) наступает, называются благоприятными для \(A\).
Достоверное событие происходит всегда (\(P=1\)), невозможное — никогда (\(P=0\)).

2. Классическое определение вероятности

Если опыт имеет \(n\) равновозможных исходов, из которых событию \(A\) благоприятствуют \(m\), то

\(P(A)=\dfrac{m}{n}\).

Вероятность всегда лежит в промежутке от 0 до 1: \(0\le P(A)\le 1\).
Для противоположного события: \(P(\bar A)=1-P(A)\), потому что \(P(A)+P(\bar A)=1\).
Ответ в задаче — десятичная дробь (или целое число), поэтому итоговую дробь \(\dfrac mn\) нужно перевести в десятичную и при необходимости округлить, как сказано в условии.

3. Как найти \(n\) и \(m\)

Опыт	Число равновозможных исходов
Одна монета	2 (орёл, решка)
Две монеты	4
Три монеты	8
Один игральный кубик	6
Два кубика	36 (упорядоченные пары)
Выбор одного объекта из \(N\)	\(N\)

Для сложных случаев используют комбинаторику.

Перестановки: число способов расставить \(n\) различных объектов в ряд равно \(n!=1\cdot2\cdot\ldots\cdot n\).
Размещения: \(A_n^k=\dfrac{n!}{(n-k)!}\) — выбор \(k\) объектов из \(n\) с учётом порядка.
Сочетания: \(C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}\) — выбор \(k\) объектов из \(n\) без учёта порядка.

Если опыт состоит из нескольких шагов (например, броски двух кубиков), перечисляют исходы в таблице или считают произведением: два кубика дают \(6\cdot6=36\) исходов.

4. Типичные виды задач №4

Игральные кости. Составляют таблицу из 36 пар и отмечают пары с нужной суммой. Например, сумма 8 получается в 5 случаях из 36: \(P=\dfrac{5}{36}\approx0{,}14\).
Монеты. Перебирают исходы: «ровно один орёл» при двух бросках — 2 исхода из 4, \(P=0{,}5\); «хотя бы две решки» при трёх бросках — 4 из 8.
Выбор из группы. Вероятность, что выбранный человек обладает признаком, равна доле таких людей: 3 из 25 — \(P=0{,}12\).
Жеребьёвка, порядок выступлений. Благоприятные места делят на общее число мест.
Билеты и товары. Нужное число билетов делят на общее число; для товара «на 100 качественных приходится 8 бракованных» всего изделий \(100+8=108\).
Деление на группы. Вероятность, что двое попадут в одну группу, считают как отношение числа оставшихся «своих» мест к числу оставшихся мест.
Стрелка часов, монеты в копилке, выбор предмета из набора — тоже «доля благоприятных» от всех.

Лайфхак 1. Определите, что считается исходом. Прежде чем делить, убедитесь, что исходы равновозможны. Для двух кубиков удобно писать пары \((a,b)\): их 36, а не 11 «возможных сумм» — суммы не равновозможны.

Лайфхак 2. Ищите противоположное событие. Если событие содержит слова «хотя бы», «не меньше», проще найти вероятность противоположного и вычесть из 1.

Лайфхак 3. Выписывайте исходы. Для монет, кубиков и небольших выборов таблица или перечисление быстрее и надёжнее формулы, а ошибку сразу видно.

Лайфхак 4. Проверяйте ответ. Вероятность не может быть больше 1; если получилось больше — вы посчитали благоприятных исходов больше, чем всех.

Разобранные примеры

Пример 1

Фабрика выпускает сумки. В среднем 8 сумок из 80 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.

Решение

В среднем без дефектов выпускают 72 сумки из каждых 80, поэтому искомая вероятность равна 72/80 или 0,9.

Ответ: 0, 9.

Пример 2

В кармане у Миши было четыре конфеты  — «Грильяж», «Белочка», «Коровка» и «Ласточка», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Миша случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Грильяж».

Решение

В кармане было 4 конфеты, а выпала одна конфета. Поэтому вероятность этого события равна одной четвертой.

Ответ: 0,25.

Пример 3

В группе шесть человек, среди них  — Михаил и Олег. Группу случайным образом делят на 3 пары. Найдите вероятность того, что Михаил и Олег окажутся в одной паре.

Решение

В пару к Михаилу можно выбрать только одного человека из пяти возможных. Вероятность такого события равна одной пятой по есть  0,2.

Ответ: 0,2.

Источники

«ЕГЭ. Математика. Теория вероятностей. Классическое определение вероятности», М. П. Павленко, urok.1sept.ru
«Элементы теории вероятностей. Задания №5 профильного ЕГЭ по математике», Н. В. Петренко, iro23.ru, 2024
«Теория вероятностей в ОГЭ и ЕГЭ: классификация задач», М. М. Маркарян, Н. А. Колокольникова, math.isu.ru, 2026
«Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей», навигатор подготовки к ЕГЭ-2025, ФИПИ (doc.fipi.ru)

У1
На экзамене 40 вопросов. Дима не выучил 6 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.
У2
Фабрика выпускает сумки. В среднем 4 сумки из 200 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
У3
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 190 качественных сумок приходится восемь сумок со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
У4
На олимпиаде по русскому языку 250 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
У5
В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 6 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист П. полетит первым рейсом вертолёта.
У6
На экзамене 45 билетов, Федя не выучил 9 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный билет.
У7
Фабрика выпускает сумки. В среднем 5 сумок из 50 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
У8
Фабрика выпускает сумки. В среднем на 200 качественных сумок приходится двадцать одна сумка со скрытыми дефектами. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется качественной. Результат округлите до сотых.
У9
На олимпиаде по русскому языку 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 120 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
У10
В фирме такси в наличии 45 легковых автомобилей; 18 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные  — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
У11
Вероятность того, что новый ноутбук в течение года поступит в гарантийный ремонт, равна 0,091. В некотором городе из 1000 проданных ноутбуков в течение года в гарантийную мастерскую поступило 96 штук. На сколько отличается частота события «гарантийный ремонт» от его вероятности в этом городе?
У12
На экзамене 40 вопросов, Коля не выучил 4 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.
У13
Фабрика выпускает сумки. В среднем 1 сумка из 80 имеет скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
У14
В некотором городе из 2000 появившихся на свет младенцев 1080 мальчиков. Найдите частоту рождения девочек в этом городе.
У15
На олимпиаде по физике 450 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 180 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
У16
В кармане у Пети было четыре конфеты  — «Белочка», «Василёк», «Красная шапочка» и «Маска», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Петя случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Василёк».
У17
В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 14 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
У18
При производстве в среднем из 2000 насосов 10 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.
У19
В группе туристов 20 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Ф. полетит вторым рейсом вертолёта.
У20
Маша включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по девяти каналам из сорока пяти показывают новости. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где новости не идут.
У21
Фабрика выпускает сумки. В среднем 5 сумок из 110 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Ответ округлите до сотых.
У22
В группе туристов 15 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 3 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Ф. полетит первым рейсом вертолёта.
У23
В среднем из 1500 садовых насосов, поступивших в продажу, 9 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
У24
В классе 21 учащийся, среди них два друга  — Вадим и Олег. Учащихся случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.
У25
Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по четырем каналам из шестнадцати показывают музыкальные клипы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где клипы не идут.
У26
Фабрика выпускает сумки. В среднем 14 сумок из 190 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Результат округлите до сотых.
У27
Люба включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по шести каналам из сорока восьми показывают документальные фильмы. Найдите вероятность того, что Люба попадет на канал, где документальные фильмы не идут.
У28
Фабрика выпускает сумки. В среднем 14 сумок из 130 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Результат округлите до сотых.
У29
В группе туристов 50 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Г. полетит первым рейсом вертолёта.
У30
В среднем из 1000 садовых насосов, поступивших в продажу, 5 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.

Д1
В среднем из 1400 садовых насосов, поступивших в продажу, 7 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Д2
При производстве в среднем на каждые 2982 исправных насоса приходится 18 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.
Д3
На борту самолёта 12 кресел расположены рядом с запасными выходами и 18  — за перегородками, разделяющими салоны. Все эти места удобны для пассажира высокого роста. Остальные места неудобны. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 300 мест.
Д4
В фирме такси в наличии 50 легковых автомобилей; 27 из них чёрного цвета с жёлтыми надписями на бортах, остальные  — жёлтого цвета с чёрными надписями. Найдите вероятность того, что на случайный вызов приедет машина жёлтого цвета с чёрными надписями.
Д5
В кармане у Коли было четыре конфеты  — «Грильяж», «Ласточка», «Взлётная» и «Василёк», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Коля случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Ласточка».
Д6
В среднем из 500 садовых насосов, поступивших в продажу, 4 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Д7
При производстве в среднем на каждые 1683 исправных насоса приходится 17 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.
Д8
В некотором городе из 2000 появившихся на свет младенцев 980 девочек. Найдите частоту рождения мальчиков в этом городе.
Д9
В классе 21 учащийся, среди них два друга  — Вадим и Олег. Класс случайным образом разбивают на 3 равные группы. Найдите вероятность того, что Вадим и Олег окажутся в одной группе.
Д10
В группе туристов 32 человека. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 4 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист К. полетит пятым рейсом вертолёта.
Д11
В кармане у Серёжи было четыре конфеты  — «Ласточка», «Красная шапочка», «Маска» и «Взлётная», а также ключи от квартиры. Вынимая ключи, Серёжа случайно выронил из кармана одну конфету. Найдите вероятность того, что потерялась конфета «Красная шапочка».
Д12
В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 20 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Д13
При производстве в среднем из 2000 насосов 4 неисправных. Найдите вероятность того, что случайно выбранный насос окажется неисправным.
Д14
На борту самолёта 16 мест рядом с запасными выходами и 20 мест за перегородками, разделяющими салоны. Остальные места неудобны для пассажира высокого роста. Пассажир В. высокого роста. Найдите вероятность того, что на регистрации при случайном выборе места пассажиру В. достанется удобное место, если всего в самолёте 400 мест.
Д15
В группе туристов 30 человек. Их вертолётом в несколько приёмов забрасывают в труднодоступный район по 3 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист К. полетит четвёртым рейсом вертолёта.
Д16
На экзамене 40 вопросов, Игорь не выучил 2 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.
Д17
Фабрика выпускает сумки. В среднем 9 сумок из 120 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Д18
На олимпиаде по истории 400 участников разместили в трёх аудиториях. В первых двух удалось разместить по 150 человек, оставшихся перевели в запасную аудиторию в другом корпусе. Найдите вероятность того, что случайно выбранный участник писал олимпиаду в запасной аудитории.
Д19
На чемпионате по прыжкам в воду выступают 20 спортсменов, среди них 7 спортсменов из Германии и 9 спортсменов из США. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двенадцатым будет выступать спортсмен из Германии.
Д20
В среднем из 1300 садовых насосов, поступивших в продажу, 13 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Д21
В классе 26 учащихся, среди них два друга  — Олег и Михаил. Учащихся случайным образом разбивают на 2 равные группы. Найдите вероятность того, что Олег и Михаил окажутся в одной группе.
Д22
Маша включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по трем каналам из тридцати показывают телевикторины. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где телевикторины не идут.
Д23
Фабрика выпускает сумки. В среднем 10 сумок из 140 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов.
Ответ округлите до сотых.
Д24
В группе туристов 30 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 3 человека за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист Ш. полетит четвёртым рейсом вертолёта
Д25
В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 2 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает.
Д26
В группе туристов 25 человек. Их вертолётом доставляют в труднодоступный район, перевозя по 5 человек за рейс. Порядок, в котором вертолёт перевозит туристов, случаен. Найдите вероятность того, что турист У. полетит четвёртым рейсом вертолёта
Д27
В среднем из 2000 садовых насосов, поступивших в продажу, 6 подтекают. Найдите вероятность того, что один случайно выбранный для контроля насос не подтекает?
Д28
В группе 21 человек, среди них  — Юрий и Ирина. Группу случайным образом делят на 7 одинаковых по численности подгрупп. Найдите вероятность того, что Юрий и Ирина окажутся в одной подгруппе.
Д29
Вика включает телевизор. Телевизор включается на случайном канале. В это время по четырнадцати каналам из тридцати пяти показывают рекламу. Найдите вероятность того, что Вика попадет на канал, где реклама не идет.
Д30
Фабрика выпускает сумки. В среднем 3 сумки из 70 имеют скрытые дефекты. Найдите вероятность того, что купленная сумка окажется без дефектов. Результат округлите до сотых.