Задание 5 · Вероятности сложных событий

5.2. Новые задания банка (MathЕГЭ)

Для репетитора: показать ответы

1. Что входит в новые задания

В заданиях №5 (вероятности сложных событий) встречаются задачи, где одного правила «умножить» или «сложить» уже недостаточно. По кодификатору ЕГЭ нужно уметь применять понятия условной вероятности, независимых событий, правило умножения, формулу сложения, испытания Бернулли. Основные типы:

условная вероятность («известно, что…»);
полная вероятность (событие зависит от того, какая «гипотеза» реализовалась раньше);
дерево вероятностей и серии испытаний с несколькими исходами;
формула Бернулли;
наименьшее число повторений, при котором вероятность достигает заданного порога.

2. Условная вероятность

Условная вероятность $P(A\mid B)$ — вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло: $P(A\mid B)=\dfrac{P(AB)}{P(B)}$.

В школьных задачах удобнее сужать пространство исходов: при условии «известно, что…» рассматривают только исходы, удовлетворяющие условию, и среди них считают благоприятные.

Пример идеи: на двух кубиках выпала сумма 8. Это пять исходов: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2). Если нужно, чтобы на втором кубике выпало 3, благоприятен один исход из пяти, $P=0{,}2$.
Если известно, что ни разу не выпала шестёрка, пространство исходов — 25 пар без шестёрки; из них сумму 8 дают три: (3;5), (4;4), (5;3), $P=\dfrac{3}{25}=0{,}12$.

Общее правило умножения: $P(AB)=P(A)\cdot P(B\mid A)$; если события независимы, $P(B\mid A)=P(B)$, и формула превращается в $P(AB)=P(A)P(B)$.

3. Формула полной вероятности

Пусть событие $A$ может произойти только после одной из несовместных гипотез $H_1,H_2,\dots,H_n$, которые в сумме дают достоверное событие (их вероятности дают в сумме 1). Тогда

$P(A)=P(H_1)P(A\mid H_1)+P(H_2)P(A\mid H_2)+\dots+P(H_n)P(A\mid H_n)$.

Если гипотез две, то $P(H_2)=1-P(H_1)$.

Три способа записать решение

Формула. Подставить вероятности гипотез и условные вероятности.
Дерево вероятностей. Вершины — события, рёбра — условные вероятности. Вероятность пути равна произведению вероятностей его рёбер, а искомая вероятность — сумма вероятностей путей, ведущих к нужному исходу.
Словесная формула. «Или» — сложение, «и» — умножение. Фразу из условия записывают как выражение.

Все три способа дают один и тот же ответ.

Типичные сюжеты полной вероятности

Сюжет	Гипотезы
Выбор предмета (например, револьвера)	взят пристрелянный / непристрелянный
Контроль качества (батарейки)	изделие исправно / бракованное; учитывают и верный брак, и ошибочный брак исправного изделия
Продукция двух фабрик	изготовлено на первой / на второй (вероятность гипотезы — доля фабрики в выпуске)
Серия партий с очками	исход каждой партии: победа, ничья, поражение
Цепочка переходов (погода)	погода сохраняется или меняется на каждом шаге
Медицинский тест	пациент здоров / болен; учитывают верные и ложные положительные результаты

4. Серия испытаний с несколькими исходами

Если в каждом испытании возможны, например, победа, ничья, поражение, нужно найти все комбинации исходов, дающие нужное. Выписывают все подходящие пары исходов, умножают вероятности внутри каждой пары и складывают результаты по парам.

5. Формула Бернулли и «наименьшее число повторений»

Для независимых одинаковых испытаний с вероятностью успеха $p$: $P_n(k)=C_n^k\,p^k(1-p)^{n-k}$.
Наименьшее число повторений. Если нужно, чтобы вероятность хотя бы одного успеха была не меньше заданной, переходят к противоположному событию (все неудачи) и решают неравенство вида $q^n0{,}4$).

Лайфхак 1. Выберите способ по вкусу. Формула полной вероятности, дерево и словесная запись равноценны. Если формулу запомнить трудно, рисуйте дерево.

Лайфхак 2. «Известно, что…» — сужаем исходы. Условную вероятность проще посчитать, выписав только исходы, удовлетворяющие условию, чем применять формулу.

Лайфхак 3. Учитывайте обе ветви. В задачах про брак и про медицинский тест ответ складывается из двух слагаемых: «исправный, но забракован» и «неисправный и забракован».

Лайфхак 4. Порог по числу повторений. Подбирайте $n$ последовательно: считайте $q^n$ для $n=1,2,3,\dots$ и остановитесь, когда значение станет меньше нужного.

Разобранные примеры

Пример 1

Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?

Решение

Сначала найдём вероятность попасть в мишень с первого или второго выстрела: $0,8 плюс 0,2 умножить на 0,8=0,96.$ Соответственно, вероятность противоположного события, состоящего в том, что стрелок не попадёт в мишень с двух выстрелов, равна 1 − 0,96  =  0,04.

Вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» равна P₅(5) = 0,96⁵. Для нахождения вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени» воспользуемся формулой Бернулли:

$P_5 левая круглая скобка 4 правая круглая скобка =C_5 в степени 4 p в степени 4 q в степени 1 = дробь: числитель: 5!, знаменатель: левая круглая скобка 5 минус 4 правая круглая скобка ! умножить на 4! конец дроби умножить на 0,96 в степени 4 умножить на 0,04=5 умножить на 0,96 в степени 4 умножить на 0,04.$

Теперь найдём искомое отношение вероятностей:

$дробь: числитель: P_5 левая круглая скобка 5 правая круглая скобка , знаменатель: P_5 левая круглая скобка 4 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 0,96 в степени 5 , знаменатель: 5 умножить на 0,96 в степени 4 умножить на 0,04 конец дроби = дробь: числитель: 0,96, знаменатель: 0,2 конец дроби =4,8.$

Ответ: 4,8.

Пример 2

Стрелок стреляет по одному разу по каждой из пяти одинаковых мишеней. Вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,8. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно четыре мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно три мишени»?

Решение

Вероятность попадания в мишень с первого раза равна 0,8. Вероятность противоположного события  — промаха  — равна  $1 минус 0,8 = 0,2.$ Для нахождения вероятности событий «стрелок поразит ровно четыре мишени» и «стрелок поразит ровно три мишени» воспользуемся формулой Бернулли:

$P_5 левая круглая скобка 4 правая круглая скобка = C в степени 4 _5 p в степени 4 q в степени 1 = дробь: числитель: 5!, знаменатель: левая круглая скобка 5 минус 4 правая круглая скобка ! умножить на 4! конец дроби умножить на 0,8 в степени 4 умножить на 0,2 = 5 умножить на 0,8 в степени 4 умножить на 0,2,$

$P_5 левая круглая скобка 3 правая круглая скобка = C в кубе _5 p в кубе q в квадрате = дробь: числитель: 5!, знаменатель: левая круглая скобка 5 минус 3 правая круглая скобка ! умножить на 3! конец дроби умножить на 0,8 в кубе умножить на 0,2 в квадрате = 10 умножить на 0,8 в кубе умножить на 0,2 в квадрате .$

Теперь найдем искомые отношение вероятностей:

$дробь: числитель: P_5 левая круглая скобка 4 правая круглая скобка , знаменатель: P_5 левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 5 умножить на 0,8 в степени 4 умножить на 0,2, знаменатель: 10 умножить на 0,8 в кубе умножить на 0,2 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 0,8, знаменатель: 0,4 конец дроби = 2.$

Ответ: 2.

Пример 3

Компания обслуживает 5 серверов. Вероятность отключения одного сервера в течение дня равна  $дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$ Во сколько раз вероятность события «в течение дня ровно один сервер потребуют ремонта» больше, чем вероятность события «в течение дня ровно 3 сервера потребуют ремонта»?

Решение

Вероятность противоположного события, состоящего в том, что поломка не произойдет, равна  $1 минус 0,2 = 0,8.$ Для нахождения вероятности события «в течение дня ровно один сервер потребуют ремонта» воспользуемся формулой Бернулли:

$P_5 левая круглая скобка 1 правая круглая скобка = C_5 в степени 1 p в степени 1 q в степени 4 = дробь: числитель: 5!, знаменатель: левая круглая скобка 5 минус 1 правая круглая скобка ! умножить на 1! конец дроби умножить на 0,2 в степени 1 умножить на 0,8 в степени 4 = 5 умножить на 0,2 умножить на 0,8 в степени 4 .$

Вероятность события «в течение дня ровно 3 сервера потребуют ремонта» равна

$P_5 левая круглая скобка 3 правая круглая скобка = C_5 в кубе p в кубе q в квадрате = дробь: числитель: 5!, знаменатель: левая круглая скобка 5 минус 3 правая круглая скобка ! умножить на 3! конец дроби умножить на 0,2 в кубе умножить на 0,8 в квадрате = 10 умножить на 0,2 в кубе умножить на 0,8 в квадрате .$

Теперь найдём искомое отношение вероятностей:

$дробь: числитель: P_5 левая круглая скобка 1 правая круглая скобка , знаменатель: P_5 левая круглая скобка 3 правая круглая скобка конец дроби = дробь: числитель: 5 умножить на 0,2 умножить на 0,8 в степени 4 , знаменатель: 10 умножить на 0,2 в кубе умножить на 0,8 в квадрате конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби умножить на дробь: числитель: 0,8 в квадрате , знаменатель: 0,2 в квадрате конец дроби = 8.$

Ответ: 8.

Источники

«Формула полной вероятности: способы решения задач ЕГЭ №5», urok.1sept.ru
«Элементы теории вероятностей. Задания №5 профильного ЕГЭ по математике», Н. В. Петренко, iro23.ru, 2024
«Теория вероятностей в ОГЭ и ЕГЭ: классификация задач», М. М. Маркарян, Н. А. Колокольникова, math.isu.ru, 2026
«Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей», навигатор подготовки к ЕГЭ-2025, ФИПИ (doc.fipi.ru)
Сборник разобранных задач по теории вероятностей, urok.1sept.ru

У1
Мастер обслуживает 6 станков. Вероятность поломки одного станка в течение дня равна $дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$ Во сколько раз вероятность события «в течение дня ровно два станка потребуют ремонта» больше, чем вероятность события «в течение дня ровно 3 станка потребуют ремонта»?
У2
Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $p = дробь: числитель: 10, знаменатель: 13 конец дроби$ на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 – p на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен –1?
У3
Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $p = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби$ на единицу больше предыдущего и c вероятностью 1 – p на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен –1?
У4
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно пять мишеней» больше вероятности события «стрелок поразит ровно четыре мишени»?
У5
Симметричную монету бросают 11 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4~орла»?
У6
Симметричную монету бросают 8 раз. Во сколько раз вероятность события «выпало ровно 4 орла» больше вероятности события «выпадет ровно 3~орла»?
У7
Симметричную монету бросают 9 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 4 орла» больше вероятности события «выпадет ровно 3~орла»?
У8
Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $p= дробь: числитель: 10, знаменатель: 17 конец дроби$ на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 − p на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен −1?
У9
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно две мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно одну мишень»?
У10
Симметричную монету бросают 16 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 8 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 7~орлов»?
У11
Симметричную монету бросают 17 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 8 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 7~орлов»?
У12
Симметричную монету бросают 21 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 10 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 9~орлов»?
У13
Симметричную монету бросают 22 раза. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 10 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 9~орлов»?

Д1
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,6. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно две мишени»?
Д2
Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $p=\dfrac57$ на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 – p на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен −1?
Д3
Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 5 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 4 орла»?
Д4
Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью p  =  0,8 на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 − p на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-⁠то член этой последовательности окажется равен −1?
Д5
Симметричную монету бросают 12 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 4 орла» меньше вероятности события «выпадет ровно 5~орлов»?
Д6
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,5. Найдите отношение вероятностей событий «стрелок поразит ровно пять мишеней» и «стрелок поразит ровно четыре мишени».
Д7
Стрелок стреляет по пяти одинаковым мишеням. На каждую мишень даётся не более двух выстрелов, и известно, что вероятность поразить мишень каждым отдельным выстрелом равна 0,5. Во сколько раз вероятность события «стрелок поразит ровно три мишени» больше вероятности события «стрелок поразит ровно две мишени»?
Д8
Симметричную монету бросают 10 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 4 орла» больше вероятности события «выпадет ровно 3~орла»?
Д9
Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $p= дробь: числитель: 10, знаменатель: 19 конец дроби$ на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 − p на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен −1?
Д10
Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $p= дробь: числитель: 20, знаменатель: 23 конец дроби$ на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 − p на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен −1?
Д11
Симметричную монету бросают 20 раз. Во сколько раз вероятность события «выпадет ровно 10 орлов» больше вероятности события «выпадет ровно 9~орлов»?
Д12
Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $p= дробь: числитель: 20, знаменатель: 31 конец дроби$ на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 − p на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен −1?
Д13
Первый член последовательности целых чисел равен 0. Каждый следующий член последовательности с вероятностью $p= дробь: числитель: 20, знаменатель: 33 конец дроби$ на единицу больше предыдущего и с вероятностью 1 − p на единицу меньше предыдущего. Какова вероятность того, что какой-то член этой последовательности окажется равен −1?