Задание 6 · Случайная величина и матожидание (НОВОЕ в 2027)

6.1. Распределение дискретной случайной величины, математическое ожидание

Для репетитора: показать ответы

1. Случайная величина и её распределение

Случайная величина — это величина, которая в результате случайного опыта принимает то или иное числовое значение (число очков на кубике, число успехов в серии испытаний, размер выигрыша). Обозначают заглавными буквами: $X$, $Y$.

Величина называется дискретной, если её возможные значения можно пересчитать (занумеровать): $x_1, x_2, \dots, x_n$. Правило, которое каждому значению ставит в соответствие его вероятность $p_i=P(X=x_i)$, называют законом (рядом) распределения. Обычно его записывают таблицей:

Значение $X$	$x_1$	$x_2$	$\dots$	$x_n$
Вероятность	$p_1$	$p_2$	$\dots$	$p_n$

Все $p_i\ge 0$.
Сумма всех вероятностей равна единице: $p_1+p_2+\dots+p_n=1$, потому что одно из значений величина принимает обязательно.
Вероятность того, что $X$ попадёт в некоторый набор значений, равна сумме вероятностей этих значений.

2. Математическое ожидание

Математическое ожидание дискретной случайной величины — сумма произведений всех её значений на их вероятности:

$E(X)=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_np_n=\sum x_ip_i$.

В разных пособиях его обозначают $E(X)$, $M(X)$ или $MX$ — это одно и то же. Смысл: среднее значение величины при очень большом числе повторений опыта.

Свойства математического ожидания

Свойство	Формула
Ожидание константы	$E(c)=c$
Постоянный множитель выносится	$E(aX)=a\,E(X)$
Линейность	$E(aX+bY)=a\,E(X)+b\,E(Y)$, в частности $E(aX+b)=a\,E(X)+b$
Ожидание суммы	$E(X+Y)=E(X)+E(Y)$ — для любых величин, независимых и зависимых
Ожидание произведения	$E(XY)=E(X)\cdot E(Y)$ — только если $X$ и $Y$ независимы

3. Индикатор события

Величина, которая равна $1$, если событие произошло (вероятность $p$), и $0$, если не произошло (вероятность $q=1-p$), называется индикатором события. Её математическое ожидание равно $1\cdot p+0\cdot q=p$.

4. Биномиальное распределение

Пусть проводится $n$ независимых испытаний, в каждом «успех» наступает с одной и той же вероятностью $p$ (схема Бернулли). Число успехов $X$ имеет биномиальное распределение:

$P(X=k)=C_n^k\,p^k\,q^{\,n-k}$, где $k=0,1,\dots,n$, $q=1-p$.

Такую величину можно представить как сумму $n$ независимых индикаторов $X=X_1+X_2+\dots+X_n$, где каждое $X_i$ равно 1 с вероятностью $p$ и 0 с вероятностью $q$. Из линейности ожидания сразу следует:

$E(X)=np$.

5. Как решать задачи №6 на ожидание

Определите, какие значения принимает величина, и найдите вероятность каждого значения.
Проверьте, что сумма всех вероятностей равна 1.
Умножьте каждое значение на его вероятность и сложите: $E(X)=\sum x_ip_i$.
Если величина — число успехов в $n$ независимых испытаниях с вероятностью успеха $p$, используйте $E(X)=np$, не составляя таблицу.
Если величина составлена из других (сумма, линейное выражение), применяйте линейность и не ищите новое распределение.

Лайфхак 1. Проверка суммы вероятностей. Перед вычислением складывайте все вероятности из таблицы: должна получиться единица. Это ловит арифметические ошибки и помогает найти недостающую вероятность.

Лайфхак 2. Линейность вместо пересчёта. Если нужно найти ожидание выражения вида $2X+1$, считайте $2E(X)+1$: новую таблицу строить не надо.

Лайфхак 3. Сумма — ожидания складываются. Для $E(X+Y)$ независимость не нужна: достаточно сложить $E(X)$ и $E(Y)$. Независимость нужна только для произведения.

Лайфхак 4. Число успехов — это $np$. Для биномиального распределения ожидание равно числу испытаний, умноженному на вероятность успеха в одном испытании.

Разобранные примеры

Пример 1

Страховая выплата $X$ по одному договору принимает значения $0$, $10\,000$, $40\,000$ рублей с вероятностями $0{,}8$, $0{,}15$, $0{,}05$ соответственно. Найдите математическое ожидание страховой выплаты. Ответ дайте в рублях.

Решение

Математическое ожидание равно сумме всех возможных выплат, умноженных на их вероятности: $M(X)=\sum x_i p_i$. Подставим данные: $M(X)=0\cdot 0{,}8+10\,000\cdot 0{,}15+40\,000\cdot 0{,}05=3\,500$.
Сумма вероятностей равна $1$, поэтому распределение задано полностью.
Ответ: $3\,500$.

Пример 2

Страховая выплата $X$ по одному договору принимает значения $0$, $15\,000$, $60\,000$ рублей с вероятностями $0{,}9$, $0{,}08$, $0{,}02$ соответственно. Найдите математическое ожидание страховой выплаты. Ответ дайте в рублях.

Решение

Математическое ожидание равно сумме всех возможных выплат, умноженных на их вероятности: $M(X)=\sum x_i p_i$. Подставим данные: $M(X)=0\cdot 0{,}9+15\,000\cdot 0{,}08+60\,000\cdot 0{,}02=2\,400$.
Сумма вероятностей равна $1$, поэтому распределение задано полностью.
Ответ: $2\,400$.

Пример 3

Случайная величина $X$ задана законом распределения

$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & -2 & 2 & 6 \\ \hline P & 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ \hline \end{array}$.

Найдите математическое ожидание $M(X)$.

Решение

Математическое ожидание дискретной случайной величины равно сумме произведений её значений на соответствующие вероятности: $M(X)=\sum x_i p_i$. Поэтому $M(X)=-2\cdot 0{,}25+2\cdot 0{,}5+6\cdot 0{,}25=2$.
Проверим закон распределения: сумма вероятностей равна $1$, поэтому все значения учтены.
Ответ: $2$.

Источники

«Кодификатор ЕГЭ 2027 по математике», ФИПИ (Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки), 2027
«Одномерные случайные величины», учебные материалы, hmath.spbstu.ru (СПбПУ)
«Математическое ожидание», Википедия (ru.wikipedia.org)
«Биномиальное распределение», Википедия (ru.wikipedia.org)
ЕГЭ по математике, профильный уровень, задание 6, egeturbo.ru

У1
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −2 −1 0 6
Вероятности 0,1 0,5 0,2 0,2
У2
Про случайную величину X известно, что E(X)  =  4 и D(X)  =  10. Найдите оценку вероятности события « $X меньше или равно минус 1$ или $X больше или равно 9$ », которую дает неравенство Чебышева.
У3
На диаграмме Эйлера схематически показали случайный опыт S, с которым связана случайная величина X. Все элементарные события равновозможны, и около каждого указано соответствующее значение случайной величины X.
Найдите вероятность события X  =  9.
У4
На диаграмме Эйлера схематически показали случайный опыт S, с которым связана случайная величина X. Все элементарные события равновозможны, и около каждого указано соответствующее значение случайной величины X.
Найдите вероятность события X  =  4.
У5
На диаграмме Эйлера схематически показали случайный опыт S, с которым связана случайная величина X. Все элементарные события равновозможны, и около каждого указано соответствующее значение случайной величины X.
Найдите вероятность события $X больше или равно 5,5.$
У6
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −7 1 3 5
Вероятности 0,3 0,2 0,1 0,4
У7
На диаграмме Эйлера схематически показали случайный опыт S, с которым связана случайная величина X. Все элементарные события равновозможны, и около каждого указано соответствующее значение случайной величины X.
Найдите вероятность события X  =  5.
У8
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −1 3 4 6
Вероятности 0,5 0,2 0,2 0,1
У9
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −7 0 1 5
Вероятности 0,3 0,2 0,1 0,4
У10
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −2 2 4 5
Вероятности 0,3 0,5 0,1 0,1
У11
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −5 2 4 5
Вероятности 0,2 0,4 0,3 0,1
У12
На диаграмме Эйлера схематически показали случайный опыт S, с которым связана случайная величина X. Все элементарные события равновозможны, и около каждого указано соответствующее значение случайной величины X.
Найдите вероятность события X  =  3.
У13
На диаграмме Эйлера схематически показали случайный опыт S, с которым связана случайная величина X. Все элементарные события равновозможны, и около каждого указано соответствующее значение случайной величины X.
Найдите вероятность события X  =  1.
У14
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −4 −1 2 3
Вероятности 0,1 0,3 0,4 0,2
У15
Организаторы лотереи выпустили $10\,000$ билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш (в рублях)} & 100 & 1000 & 5000 & 10000 & 50000 \\ \hline \text{Число выигрышных билетов} & 500 & 100 & 50 & 10 & 1 \\ \hline \end{array}$

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
У16
В рекламной акции магазина разыгрываются $5000$ призовых купонов. Выигрыши распределены следующим образом.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш (в рублях)} & 100 & 300 & 1000 & 5000 & 25000 \\ \hline \text{Число выигрышных купонов} & 300 & 150 & 40 & 8 & 2 \\ \hline \end{array}$

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один купон». Ответ дайте в рублях.
У17
В школьной лотерее было напечатано $8000$ билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш (в рублях)} & 20 & 100 & 500 & 2000 & 10000 \\ \hline \text{Число выигрышных билетов} & 400 & 250 & 80 & 20 & 5 \\ \hline \end{array}$

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
У18
Случайная величина $X$ задана законом распределения
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & -2 & 1 & 4 \\ \hline P & 0{,}2 & 0{,}5 & 0{,}3 \\ \hline \end{array}$.
Найдите математическое ожидание $M(X)$.
У19
Вероятность того, что изготовленная деталь имеет дефект, равна $0{,}3$. Случайная величина $X$ — число дефектных деталей среди $20$ независимо выбранных деталей. Найдите математическое ожидание $M(X)$.
У20
Организаторы лотереи выпустили $10\,000$ билетов. Выигрыши распределены так:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 100 & 500 & 2\,000 & 10\,000 \\ \hline N & 800 & 120 & 30 & 4 \\ \hline \end{array}$.
В таблице $X$ — размер выигрыша одного билета в рублях, $N$ — количество билетов с соответствующим размером выигрыша. Остальные билеты не выигрывают. Найдите математическое ожидание случайной величины $X$ — выигрыша на один билет. Ответ дайте в рублях.
У21
Организаторы лотереи выпустили $8\,000$ билетов. Выигрыши распределены так:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 100 & 1\,000 & 4\,000 & 20\,000 \\ \hline N & 400 & 80 & 20 & 4 \\ \hline \end{array}$.
В таблице $X$ — размер выигрыша одного билета в рублях, $N$ — количество билетов с соответствующим размером выигрыша. Остальные билеты не выигрывают. Найдите математическое ожидание случайной величины $X$ — выигрыша на один билет. Ответ дайте в рублях.
У22
Вероятность того, что изготовленная деталь имеет дефект, равна $0{,}4$. Случайная величина $X$ — число дефектных деталей среди $30$ независимо выбранных деталей. Найдите математическое ожидание $M(X)$.
У23
Случайная величина $X$ принимает значение $3$ с вероятностью $p$ и значение $9$ с вероятностью $1-p$. Известно, что $M(X)=6$. Найдите $p$.
У24
Случайная величина $X$ принимает значение $-2$ с вероятностью $p$ и значение $6$ с вероятностью $1-p$. Известно, что $M(X)=0$. Найдите $p$.

Д1
Симметричную монету бросают до тех пор, пока решка и орёл не выпадут хотя бы по одному разу. Найдите математическое ожидание случайной величины «число сделанных бросков».
Д2
На диаграмме Эйлера схематически показан случайный опыт S, с которым связана случайная величина X. Около каждого элементарного события указана вероятность этого события и соответствующее значение случайной величины X.
Найдите вероятность события X  =  5.
Д3
На диаграмме Эйлера схематически показан случайный опыт S, с которым связана случайная величина X. Около каждого элементарного события указана вероятность этого события и соответствующее значение случайной величины X.
Найдите вероятность события $X больше 5.$
Д4
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −1 2 4 6
Вероятности 0,6 0,1 0,2 0,1
Д5
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −3 −2 1 5
Вероятности 0,2 0,4 0,1 0,3
Д6
На диаграмме Эйлера схематически показан случайный опыт S, с которым связана случайная величина X. Около каждого элементарного события указана вероятность этого события и соответствующее значение случайной величины X.
Найдите вероятность события X  =  7.
Д7
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −5 −2 0 8
Вероятности 0,1 0,3 0,2 0,4
Д8
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −3 −2 −1 7
Вероятности 0,1 0,3 0,4 0,2
Д9
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −6 1 5 6
Вероятности 0,4 0,2 0,1 0,3
Д10
На диаграмме Эйлера схематически показали случайный опыт S, с которым связана случайная величина X. Все элементарные события равновозможны, и около каждого указано соответствующее значение случайной величины X.
Найдите вероятность события X  =  2.
Д11
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −2 −1 4 5
Вероятности 0,4 0,1 0,3 0,2
Д12
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −3 0 2 4
Вероятности 0,3 0,3 0,1 0,3
Д13
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $EX$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −7 −3 5 6
Вероятности 0,1 0,5 0,2 0,2
Д14
В таблице показано распределение случайной величины X. Найдите $E\/X$   — математическое ожидание этой случайной величины.
Значения X −2 0 1 3
Вероятности 0,4 0,1 0,2 0,3
Д15
В благотворительной лотерее было выпущено $20\,000$ билетов. Выигрыши распределены следующим образом.
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш (в рублях)} & 50 & 500 & 2000 & 10000 & 100000 \\ \hline \text{Число выигрышных билетов} & 800 & 200 & 80 & 15 & 5 \\ \hline \end{array}$
Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Д16
На корпоративной лотерее компании выпущено $12000$ билетов. Выигрыши распределены следующим образом.

$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{Выигрыш (в рублях)} & 100 & 1000 & 3000 & 15000 & 75000 \\ \hline \text{Число выигрышных билетов} & 600 & 120 & 40 & 12 & 3 \\ \hline \end{array}$

Найдите математическое ожидание величины «выигрыш на один билет». Ответ дайте в рублях.
Д17
Организаторы лотереи выпустили $10\,000$ билетов. Выигрыши распределены так:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 100 & 500 & 2000 & 10000 \\ \hline N & 1000 & 200 & 50 & 2 \\ \hline \end{array}$
В таблице $X$ — размер выигрыша одного билета в рублях, $N$— количество билетов с соответствующим размером выигрыша. Остальные билеты не выигрывают. Найдите математическое ожидание случайной величины $X$ — выигрыша на один билет. Ответ дайте в рублях.
Д18
Страховая выплата $X$ по одному договору принимает значения $0$, $20000$ и $50000$ рублей с вероятностями $0{,}85$, $0{,}10$ и $0{,}05$ соответственно. Найдите математическое ожидание страховой выплаты. Ответ дайте в рублях.
Д19
Случайная величина $X$ принимает значение $2$ с вероятностью $p$ и значение $8$ с вероятностью $1-p$. Известно, что $M(X)=5$. Найдите $p$.
Д20
Организаторы лотереи выпустили $20\,000$ билетов. Выигрыши распределены так:
$\begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline X & 50 & 500 & 5\,000 & 20\,000 \\ \hline N & 1\,000 & 200 & 20 & 5 \\ \hline \end{array}$.
В таблице $X$ — размер выигрыша одного билета в рублях, $N$ — количество билетов с соответствующим размером выигрыша. Остальные билеты не выигрывают. Найдите математическое ожидание случайной величины $X$ — выигрыша на один билет. Ответ дайте в рублях.
Д21
Вероятность того, что изготовленная деталь имеет дефект, равна $0{,}25$. Случайная величина $X$ — число дефектных деталей среди $24$ независимо выбранных деталей. Найдите математическое ожидание $M(X)$.
Д22
Вероятность того, что изготовленная деталь имеет дефект, равна $0{,}15$. Случайная величина $X$ — число дефектных деталей среди $40$ независимо выбранных деталей. Найдите математическое ожидание $M(X)$.
Д23
Случайная величина $X$ принимает значение $2$ с вероятностью $p$ и значение $10$ с вероятностью $1-p$. Известно, что $M(X)=8$. Найдите $p$.
Д24
Случайная величина $X$ задана законом распределения
$\begin{array}{c|ccc}X&-3&1&5\\\hline P&0{,}2&0{,}5&0{,}3\end{array}$.
Найдите математическое ожидание $M(X)$.

Свойство	Формула
Ожидание константы	\(E(c)=c\)
Постоянный множитель выносится	\(E(aX)=a\,E(X)\)
Линейность	\(E(aX+bY)=a\,E(X)+b\,E(Y)\), в частности \(E(aX+b)=a\,E(X)+b\)
Ожидание суммы	\(E(X+Y)=E(X)+E(Y)\) — для любых величин, независимых и зависимых
Ожидание произведения	\(E(XY)=E(X)\cdot E(Y)\) — только если \(X\) и \(Y\) независимы

Значения X	−2	−1	0	6
Вероятности	0,1	0,5	0,2	0,2

Значения X	−4	−1	2	3
Вероятности	0,1	0,3	0,4	0,2

Значения X	−3	−2	1	5
Вероятности	0,2	0,4	0,1	0,3

Значения X	−5	−2	0	8
Вероятности	0,1	0,3	0,2	0,4

Значения X	−7	−3	5	6
Вероятности	0,1	0,5	0,2	0,2