Задание 6 · Случайная величина и матожидание (НОВОЕ в 2027)

6.2. Дисперсия и стандартное отклонение

Для репетитора: показать ответы

1. Зачем нужна дисперсия

Математическое ожидание показывает «центр» случайной величины, но не говорит, насколько сильно значения разбросаны вокруг него. Эту характеристику даёт дисперсия — мера отклонения случайной величины от её математического ожидания.

2. Определение и формулы

Дисперсия — математическое ожидание квадрата отклонения величины от её среднего:

$D(X)=E\big((X-E(X))^2\big)$.

Для дискретной величины с распределением $P(X=x_i)=p_i$ это сумма квадратов отклонений от ожидания, взвешенных вероятностями: $D(X)=\sum (x_i-E(X))^2p_i$.

Для вычислений удобнее другая формула:

$D(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$, где $E(X^2)=\sum x_i^2p_i$.

Словами: «ожидание квадрата минус квадрат ожидания». Дисперсия никогда не отрицательна.

Стандартное (среднее квадратическое) отклонение — корень из дисперсии: $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}$. Оно измеряется в тех же единицах, что и сама величина, а дисперсия — в квадратах этих единиц.

3. Свойства дисперсии

Свойство	Формула
Дисперсия константы	$D(c)=0$
Сдвиг не меняет разброс	$D(X+b)=D(X)$
Множитель выходит в квадрате	$D(aX)=a^2D(X)$, вместе: $D(aX+b)=a^2D(X)$
Сумма независимых величин	$D(X+Y)=D(X)+D(Y)$
Линейная комбинация независимых	$D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)$
Стандартное отклонение	$\sigma(aX+b)=\|a\|\,\sigma(X)$

Для зависимых величин в формуле суммы добавляется удвоенная ковариация, поэтому простое сложение дисперсий верно только для независимых (достаточно некоррелированных) величин. Для разности независимых величин дисперсии тоже складываются: $D(X-Y)=D(X)+D(Y)$.

4. Дисперсия индикатора и биномиального распределения

Индикатор события (равен 1 с вероятностью $p$ и 0 с вероятностью $q=1-p$) имеет $E=p$, $E(X^2)=p$, поэтому $D=p-p^2=pq$.

Биномиальная величина — сумма $n$ независимых индикаторов, значит, дисперсии складываются:

$E(X)=np$, $D(X)=npq=np(1-p)$, $\sigma(X)=\sqrt{npq}$.

5. Отклонение от среднего: правило трёх сигм и неравенство Чебышёва

Чем меньше дисперсия, тем плотнее значения группируются около математического ожидания. Количественно это описывает неравенство Чебышёва: для любой случайной величины с математическим ожиданием $\mu$ и дисперсией $\sigma^2$ и любого $a>0$

$P(|X-\mu|\ge a)\le \dfrac{\sigma^2}{a^2}$.

В записи через сигмы ($a=k\sigma$): $P(|X-\mu|\ge k\sigma)\le \dfrac{1}{k^2}$. Например, отклонение на две сигмы и более имеет вероятность не больше $\tfrac14$, на три сигмы и более — не больше $\tfrac19$ (около 11 %).

Для нормально распределённой величины оценки намного точнее: в пределах $\pm3\sigma$ от среднего лежит около 99,7 % значений (подробно в карточке 6.3). Универсальная оценка $\tfrac19$ гораздо грубее, зато работает для любого распределения.

6. Алгоритм вычисления дисперсии по таблице

Проверьте, что сумма вероятностей равна 1.
Найдите $E(X)=\sum x_ip_i$.
Найдите $E(X^2)=\sum x_i^2p_i$.
Вычислите $D(X)=E(X^2)-\big(E(X)\big)^2$; при необходимости $\sigma=\sqrt{D(X)}$.

Лайфхак 1. Формула «квадрат ожидания». Вычислять $D(X)$ через $E(X^2)-(E X)^2$ проще, чем считать отклонения каждого значения от среднего.

Лайфхак 2. Константа исчезает, множитель возводится в квадрат. В $D(aX+b)$ слагаемое $b$ просто отбрасывается, а $a$ выходит как $a^2$. Знак минус у $a$ тоже пропадает.

Лайфхак 3. Независимые — складываем дисперсии. Для независимых $X$ и $Y$ дисперсия $D(2X+Y)$ равна $4D(X)+D(Y)$; коэффициенты возводятся в квадрат, а знаки между слагаемыми значения не имеют.

Лайфхак 4. Биномиальное распределение. Не составляйте таблицу: сразу $D=npq$.

Разобранные примеры

Пример 1

Случайная величина $X$ имеет распределение Бернулли: $P(X=1)=0{,}2$, $P(X=0)=0{,}8$. Найдите стандартное отклонение $\sigma(X)$.

Решение

$1$. Для распределения Бернулли математическое ожидание равно вероятности успеха: $M(X)=p=0{,}2$.
$2$. Найдём дисперсию: $D(X)=p(1-p)$. Тогда $D(X)=0{,}2\cdot 0{,}8=0{,}16$.
$3$. Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{0{,}16}=0{,}4$.
Ответ: $0{,}4$.

Пример 2

Случайная величина $X$ имеет распределение Бернулли: $P(X=1)=0{,}1$, $P(X=0)=0{,}9$. Найдите стандартное отклонение $\sigma(X)$.

Решение

$1$. Для распределения Бернулли математическое ожидание равно вероятности успеха: $M(X)=p=0{,}1$.
$2$. Найдём дисперсию: $D(X)=p(1-p)$. Тогда $D(X)=0{,}1\cdot 0{,}9=0{,}09$.
$3$. Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{0{,}09}=0{,}3$.
Ответ: $0{,}3$.

Пример 3

Случайная величина $X$ имеет распределение Бернулли: $P(X=1)=0{,}5$, $P(X=0)=0{,}5$. Найдите стандартное отклонение $\sigma(X)$.

Решение

$1$. Для распределения Бернулли математическое ожидание равно вероятности успеха: $M(X)=p=0{,}5$.
$2$. Найдём дисперсию: $D(X)=p(1-p)$. Тогда $D(X)=0{,}5\cdot 0{,}5=0{,}25$.
$3$. Стандартное отклонение равно квадратному корню из дисперсии: $\sigma(X)=\sqrt{D(X)}=\sqrt{0{,}25}=0{,}5$.
Ответ: $0{,}5$.

Источники

«Кодификатор ЕГЭ 2027 по математике», ФИПИ (Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки), 2027
«Одномерные случайные величины», учебные материалы, hmath.spbstu.ru (СПбПУ)
«Дисперсия», Большая российская энциклопедия (bigenc.ru)
«Дисперсия случайной величины» и «Неравенство Чебышева», Википедия (ru.wikipedia.org)
«Биномиальное распределение», Википедия (ru.wikipedia.org)
«Правило трёх сигм», Loginom Wiki (wiki.loginom.ru)

У1
Средняя длина нити в мотке пряжи равна 600 м, а стандартное отклонение равно 30 м. При помощи неравенства Чебышева найдите верхнюю оценку вероятности события «длина нити в случайно выбранном мотке отличается от средней более чем на 50 м».
У2
Сторона квадратной керамической плитки равна 30 см, а стандартное отклонение равно 0,6 мм. При помощи неравенства Чебышева найдите верхнюю оценку вероятности события «сторона случайно выбранной керамической плитки отличается от средней более чем на 0,75 мм».
У3
Найдите дисперсию случайной величины x, если её распределение вероятностей имеет вид
Значение x 20 30 70
Вероятность, % 40 50 10
У4
Случайные величины X и Y независимы. Найти дисперсию случайной величины $Z = 3X плюс 2Y,$ если известно, что $D левая круглая скобка X правая круглая скобка = 5,$ $D левая круглая скобка Y правая круглая скобка = 6.$
У5
Найдите дисперсию дискретной случайной величины X  — числа появлений события A в двух независимых испытаниях, если вероятности появления события в этих испытаниях одинаковы и известно, что E(X)  =  1,2.
У6
При выборочном обследовании клиентов сети автозаправочных станций «Огонек», 24 из 36 случайных респондентов ответили «Да» на вопрос, есть ли у них бонусная карта сети. Найдите интервальную оценку доли клиентов, имеющих бонусную карту, пользуясь правилом «частота плюс-⁠минус 2 стандартных отклонения». В ответ запишите верхнюю границу доверительного интервала. Ответ округлите до десятых.
У7
С помощью выборочного исследования изучают цены на смартфон определённой модели. По данным из шести независимых салонов связи и интернет-магазинов получена следующая выборка значений:
21 800, 22 000, 21 700, 21 300, 22 000 и 21 400 рублей.
Сделайте по этой выборке несмещённую оценку дисперсии цен на эту модель смартфона.
У8
С помощью выборочного исследования изучают цены на наушники определённой модели. По данным из шести независимых магазинов получена следующая выборка:
1250, 1280, 1230, 1230, 1230 и 1280 рублей.
По этой выборке сделайте несмещенную оценку дисперсии цен на эту модель наушников.
У9
С помощью выборочного исследования изучают цены на умную колонку определённой модели. По данным из шести независимых магазинов получена следующая выборка:
6520, 6400, 6360, 6520, 6360 и 6360 рублей.
По этой выборке сделайте несмещенную оценку дисперсии цен на эту модель колонки.
У10
С помощью выборочного исследования изучают цены на карты памяти определённой модели. По данным из одиннадцати независимых магазинов получена следующая выборка:
520, 420, 440, 500, 520, 560, 520, 520, 560, 580 и 580 рублей.
По этой выборке сделайте несмещенную оценку дисперсии цен на эту модель карты.
У11
С помощью выборочного исследования изучают цены на бинокли определённой модели. По данным из пяти независимых магазинов получена следующая выборка:
4290, 3890, 3890, 4290 и 5690 рублей.
По этой выборке сделайте несмещенную оценку дисперсии цен на эту модель бинокля.
У12
Случайная величина $X$ принимает значения $-1$ и $1$ с вероятностями $0{,}25$ и $0{,}75$ соответственно. Найдите дисперсию $D(X)$.
У13
Вероятность успешного прохождения одной независимой проверки равна $0{,}2$. Случайная величина $X$ — число успешных прохождений среди $25$ проверок. Найдите дисперсию $D(X)$.
У14
Случайная величина $X$ принимает значения $-2$ и $2$ с вероятностями $0{,}25$ и $0{,}75$ соответственно. Найдите дисперсию $D(X)$.
У15
Случайная величина $X$ принимает значения $-1$ и $3$ с вероятностями $0{,}75$ и $0{,}25$ соответственно. Найдите дисперсию $D(X)$.
У16
Вероятность успешного прохождения одной независимой проверки равна $0{,}4$. Случайная величина $X$ — число успешных прохождений среди $20$ проверок. Найдите дисперсию $D(X)$.
У17
Случайная величина $X$ задана законом распределения
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 0 & 2 & 4 \\ \hline P & 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ \hline \end{array}$.
Найдите дисперсию $D(X)$.

Д1
Средняя масса упаковки наполнителя для игрушек равна 1500 г, а стандартное отклонение равно 40 г. При помощи неравенства Чебышева найдите верхнюю оценку вероятности события «масса наполнителя в случайно выбранной упаковке отклоняется от средней более чем на 100 г».
Д2
Случайная выборка из некоторой генеральной совокупности содержит пять значений:
1,4, 1,2, 1,3, 1,4 и 1,2.
По этой выборке найдите несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
Д3
Случайная величина X принимает только два значения: 0 и $a левая круглая скобка a больше 0 правая круглая скобка .$ Найдите a, если известно, математическое ожидание $E левая круглая скобка X правая круглая скобка =0,2$ и дисперсия $D левая круглая скобка X правая круглая скобка =0,36.$
Д4
Найти дисперсию дискретной случайной величины X  — числа появлений события A в пяти независимых испытаниях, если вероятность появления событий A в каждом испытании равна 0,2.
Д5
Случайная выборка из некоторой генеральной совокупности содержит девять значений:
22, 20, 22, 20, 23, 24, 22, 24 и 21.
По этой выборке найдите несмещенную оценку дисперсии генеральной совокупности.
Д6
С помощью выборочного исследования изучают цены на смартфон определённой модели. По данным из шести независимых салонов связи и интернет-магазинов получена следующая выборка значений:
17 600, 17 600, 17 500, 17 300, 17 600 и 18 000 рублей.
Сделайте по этой выборке несмещённую оценку дисперсии цен на эту модель смартфона.
Д7
С помощью выборочного исследования изучают цены на стиральные машины определённой модели. По данным из шести независимых магазинов бытовой техники получена следующая выборка:
35 400, 34 900, 34 900, 35 200, 35 400 и 35 400 рублей.
По этой выборке сделайте несмещенную оценку дисперсии цен на эту модель стиральной машины.
Д8
С помощью выборочного исследования изучают цены на наушники определённой модели. По данным из шести независимых магазинов получена следующая выборка:
1520, 1480, 1500, 1550, 1500 и 1510 рублей.
По этой выборке сделайте несмещенную оценку дисперсии цен на эту модель наушников.
Д9
С помощью выборочного исследования изучают цены на умную колонку определённой модели. По данным из шести независимых магазинов получена следующая выборка:
5000, 4860, 5000, 4920, 4920 и 5000 рублей.
По этой выборке сделайте несмещенную оценку дисперсии цен на эту модель колонки.
Д10
С помощью выборочного исследования изучают цены на карты памяти определённой модели. По данным из одиннадцати независимых магазинов получена следующая выборка:
690, 750, 710, 770, 810, 850, 690, 850, 850, 850 и 870 рублей.
По этой выборке сделайте несмещенную оценку дисперсии цен на эту модель карты.
Д11
С помощью выборочного исследования изучают цены на бинокли определённой модели. По данным из пяти независимых магазинов получена следующая выборка:
9200, 8800, 9200, 8800 и 8600 рублей.
По этой выборке сделайте несмещенную оценку дисперсии цен на эту модель бинокля.
Д12
Случайная величина $X$ имеет распределение Бернулли: $P(X=1)=0{,}36$, $P(X=0)=0{,}64$.
Найдите стандартное отклонение $\sigma(X)$.
Д13
Случайная величина $X$ задана законом распределения
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 3 & 5 \\ \hline P & 0{,}25 & 0{,}5 & 0{,}25 \\ \hline \end{array}$.
Найдите дисперсию $D(X)$.
Д14
Случайная величина $X$ принимает значения $1$ и $5$ с вероятностями $0{,}5$ и $0{,}5$ соответственно. Найдите дисперсию $D(X)$.
Д15
Вероятность успешного прохождения одной независимой проверки равна $0{,}25$. Случайная величина $X$ — число успешных прохождений среди $16$ проверок. Найдите дисперсию $D(X)$.
Д16
Вероятность успешного прохождения одной независимой проверки равна $0{,}1$. Случайная величина $X$ — число успешных прохождений среди $50$ проверок. Найдите дисперсию $D(X)$.
Д17
Случайная величина $X$ задана законом распределения
$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline X & 1 & 3 & 5 \\ \hline P & 0{,}2 & 0{,}6 & 0{,}2 \\ \hline \end{array}$.
Найдите дисперсию $D(X)$.

Свойство	Формула
Дисперсия константы	\(D(c)=0\)
Сдвиг не меняет разброс	\(D(X+b)=D(X)\)
Множитель выходит в квадрате	\(D(aX)=a^2D(X)\), вместе: \(D(aX+b)=a^2D(X)\)
Сумма независимых величин	\(D(X+Y)=D(X)+D(Y)\)
Линейная комбинация независимых	\(D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)\)
Стандартное отклонение	\(\sigma(aX+b)=\|a\|\,\sigma(X)\)

Значение x	20	30	70
Вероятность, %	40	50	10