Задание 6 · Случайная величина и матожидание (НОВОЕ в 2027)

6.3. Равномерное, показательное, нормальное распределения (функции распределения и плотности)

Для репетитора: показать ответы

1. Непрерывные распределения: плотность и функция распределения

Если значения случайной величины заполняют промежуток, то вероятности отдельных значений не задают. Вместо этого используют две функции.

Функция распределения \(F(x)=P(X\le x)\). Она не убывает, \(F(x)\to0\) при \(x\to-\infty\) и \(F(x)\to1\) при \(x\to+\infty\).
Плотность распределения \(f(x)\). Вероятность попасть в промежуток равна площади под графиком плотности над этим промежутком, а площадь под всем графиком равна 1.

Вероятность попадания в промежуток через функцию распределения: \(P(\alpha

Математическое ожидание \(E(X)\), дисперсия \(D(X)\) и стандартное отклонение \(\sigma=\sqrt{D(X)}\) определяются так же по смыслу, как для дискретной величины: центр и разброс.

2. Равномерное распределение на отрезке \([a;b]\)

Все значения отрезка «одинаково возможны».

Характеристика	Формула
Плотность	\(f(x)=\dfrac{1}{b-a}\) при \(x\in[a;b]\), иначе \(f(x)=0\)
Функция распределения	\(F(x)=0\) при \(xb\)
Ожидание	\(E(X)=\dfrac{a+b}{2}\) (середина отрезка, она же медиана)
Дисперсия	\(D(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\)

3. Показательное распределение с параметром \(\lambda>0\)

Характеристика	Формула
Плотность	\(f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\) при \(x\ge0\); \(f(x)=0\) при \(x<0\)
Функция распределения	\(F(x)=1-e^{-\lambda x}\) при \(x\ge0\); \(F(x)=0\) при \(x<0\)
Ожидание	\(E(X)=\dfrac{1}{\lambda}\)
Дисперсия	\(D(X)=\dfrac{1}{\lambda^2}\), поэтому \(\sigma=\dfrac1\lambda\)
Медиана	\(\dfrac{\ln2}{\lambda}\approx\dfrac{0{,}693}{\lambda}\)

Отсюда вероятность того, что величина превысит \(x\): \(P(X>x)=1-F(x)=e^{-\lambda x}\) при \(x\ge 0\).

4. Нормальное распределение \(N(\mu;\sigma)\)

Нормальное (гауссово) распределение задаётся двумя параметрами: \(\mu\) определяет положение центра, \(\sigma>0\) — разброс.

Характеристика	Формула и смысл
Плотность	\(f(x)=\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\)
Ожидание	\(E(X)=\mu\) (она же медиана и мода)
Дисперсия	\(D(X)=\sigma^2\)

График плотности («колокол», кривая Гаусса) симметричен относительно прямой \(x=\mu\); максимум достигается в точке \(x=\mu\) и равен \(\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\).
Точки перегиба графика: \(x=\mu\pm\sigma\).
Изменение \(\mu\) сдвигает кривую вдоль оси \(x\), не меняя формы. Чем меньше \(\sigma\), тем выше и уже «колокол».
Площадь под кривой равна 1; из симметрии \(P(X<\mu)=P(X>\mu)=0{,}5\).

Стандартизация

Распределение \(N(0;1)\) называют стандартным нормальным. Любую нормальную величину сводят к нему заменой \(Z=\dfrac{X-\mu}{\sigma}\). Тогда \(P(X

Вероятность попадания в промежуток: \(P(\alpha

5. Правило трёх сигм (68–95–99,7)

Для нормально распределённой величины почти все значения лежат недалеко от среднего:

Промежуток	Доля значений
\((\mu-\sigma;\ \mu+\sigma)\)	около 68 % (точнее 68,26 %)
\((\mu-2\sigma;\ \mu+2\sigma)\)	около 95 % (точнее 95,44 %)
\((\mu-3\sigma;\ \mu+3\sigma)\)	около 99,7 % (точнее 99,73 %)

Значит, выход за пределы \(\pm3\sigma\) имеет вероятность около 0,3 %: событие крайне маловероятное, но не невозможное. Эти проценты верны именно для нормального распределения; для произвольной величины остаётся лишь грубая оценка из неравенства Чебышёва: вероятность отклониться на \(3\sigma\) и более не больше \(\tfrac19\).

6. Как решать задачи №6 про непрерывные распределения

Определите тип распределения и выпишите его параметры (\(a,b\), \(\lambda\) или \(\mu,\sigma\)).
Для вычисления \(E\), \(D\), \(\sigma\) подставьте параметры в соответствующие формулы.
Для вероятности попадания в промежуток используйте \(F(\beta)-F(\alpha)\) (равномерное, показательное) или стандартизацию (нормальное).
Если границы промежутка — это \(\mu\pm\sigma\), \(\mu\pm2\sigma\), \(\mu\pm3\sigma\), берите готовые проценты правила 68–95–99,7.
Для нормального закона используйте симметрию относительно \(\mu\).

Лайфхак 1. Нормальный закон — читайте параметры. В записи \(N(\mu;\sigma)\) второй параметр — именно стандартное отклонение; чтобы получить дисперсию, возведите его в квадрат.

Лайфхак 2. Правило 68–95–99,7 вместо таблиц. Если границы отстоят от среднего на целое число сигм, считать интегралы и искать значения \(\Phi_0\) не нужно.

Лайфхак 3. Симметрия. Половина значений лежит левее \(\mu\), половина правее; доли симметричных промежутков равны.

Лайфхак 4. Показательное распределение: \(\sigma=E\). Среднее и стандартное отклонение у него равны \(\dfrac1\lambda\).

Разобранные примеры

Пример 1

Случайная величина \(X\) равномерно распределена на отрезке \([1; 9]\). Найдите её математическое ожидание.

Решение

Для равномерного распределения на отрезке \([a;b]\) математическое ожидание равно середине отрезка: \(M(X)=\dfrac{a+b}{2}\). Подставим границы: \(M(X)=\dfrac{1+9}{2}=5\).
Ответ: \(5\).

Пример 2

Случайная величина \(X\) равномерно распределена на отрезке \([-5; 7]\). Найдите её математическое ожидание.

Решение

Для равномерного распределения на отрезке \([a;b]\) математическое ожидание равно середине отрезка: \(M(X)=\dfrac{a+b}{2}\). Подставим границы: \(M(X)=\dfrac{-5+7}{2}=1\).
Ответ: \(1\).

Пример 3

Случайная величина \(X\) равномерно распределена на отрезке \([-2; 4]\). Найдите её дисперсию.

Решение

\(1\). Сначала найдём математическое ожидание равномерно распределённой на отрезке \([a;b]\) случайной величины: \(M(X)=\dfrac{a+b}{2}\). Подставим границы отрезка: \(M(X)=\dfrac{-2+4}{2}=1\).
\(2\). Для равномерного распределения на \([a;b]\) дисперсия равна \(D(X)=\dfrac{(b-a)^2}{12}\). Тогда \(D(X)=\dfrac{(4-(-2))^2}{12}=3\).
Ответ: \(3\).

Источники

«Кодификатор ЕГЭ 2027 по математике», ФИПИ (Федеральная служба по надзору в сфере образования и науки), 2027
«Законы распределения непрерывных случайных величин», учебные материалы, hmath.spbstu.ru (СПбПУ)
«Нормальное распределение», Большая российская энциклопедия (bigenc.ru)
«Нормальное распределение», Википедия (ru.wikipedia.org)
«Правило трёх сигм», Loginom Wiki (wiki.loginom.ru)

У1
Случайная величина \(X\) равномерно распределена на отрезке \([2;8]\). Найдите её математическое ожидание.
У2
Случайная величина \(X\) равномерно распределена на отрезке \([1; 4]\). Найдите её дисперсию.

Д1
Случайная величина \(X\) равномерно распределена на отрезке \([-1;5]\). Найдите её дисперсию.
Д2
Случайная величина \(X\) равномерно распределена на отрезке \([0; 9]\). Найдите её дисперсию.