7.1. Линейные, квадратные, кубические уравнения

1. Общие понятия

• Корень (решение) уравнения — число, при подстановке которого получается верное равенство. Решить уравнение — найти все корни или доказать, что их нет.
• ОДЗ — значения \(x\), при которых определены обе части уравнения.
• Равносильные уравнения имеют одни и те же корни (в том числе оба могут не иметь корней).

Преобразования, которые приводят к равносильному уравнению:

• перенос слагаемого в другую часть с противоположным знаком: \(f=g\iff f-g=0\);
• прибавление к обеим частям одного числа;
• умножение (деление) обеих частей на число, не равное нулю;
• возведение обеих частей в нечётную степень: \(f=g\iff f^{2n+1}=g^{2n+1}\);
• возведение в чётную степень — только если обе части неотрицательны.

2. Линейное уравнение \(ax+b=0\)

Если в уравнении есть дроби, обе части умножают на общий знаменатель: из \(-\dfrac29x=\dfrac{10}{9}\) получается \(-2x=10\).

3. Квадратное уравнение \(ax^2+bx+c=0\), \(a\ne0\)

Дискриминант: \(D=b^2-4ac\).

Если \(b=2k\) (чётный коэффициент), удобнее формула \(x_{1,2}=\dfrac{-k\pm\sqrt{k^2-ac}}{a}\).

Неполные квадратные уравнения

• \(ax^2+bx=0\): выносим \(x\): \(x(ax+b)=0\), корни \(x_1=0\), \(x_2=-\dfrac ba\).
• \(ax^2+c=0\), \(c\ne0\): если \(a\) и \(c\) одного знака, корней нет; если разных, то \(x=\pm\sqrt{-\dfrac ca}\). Например, \(x^2-49=0\) раскладывается как \((x-7)(x+7)=0\), корни \(\pm7\).
• \(ax^2=0\): корень \(x=0\).

Теорема Виета

• Прямая: \(x_1+x_2=-\dfrac ba\), \(x_1x_2=\dfrac ca\). Для приведённого уравнения \(x^2+px+q=0\): \(x_1+x_2=-p\), \(x_1x_2=q\).
• Обратная: если числа имеют сумму \(-p\) и произведение \(q\), то они — корни уравнения \(x^2+px+q=0\).
• Знаки корней приведённого уравнения: при \(q>0\) корни одного знака, при \(q<0\) — разных.

Другие приёмы

• Если \(a+b+c=0\), то \(x_1=1\), \(x_2=\dfrac ca\).
• Если \(a-b+c=0\), то \(x_1=-1\), \(x_2=-\dfrac ca\).
• Выделение полного квадрата: \(x^2+6x-7=(x+3)^2-16\), откуда \(x_1=1\), \(x_2=-7\).
• Разложение на множители (вынесение общего множителя, формулы сокращённого умножения, группировка): уравнение приводят к виду «произведение равно нулю», затем приравнивают каждый множитель к нулю.
• Замена переменной: сложное выражение обозначают новой буквой, решают простое уравнение и возвращаются к \(x\).
• Уравнение вида \((2x+7)^2=(2x-1)^2\) решают, раскрыв скобки по формулам \((a\pm b)^2\): квадраты \(x^2\) сократятся, и останется линейное уравнение.

4. Кубические уравнения

Кубическое уравнение — \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), \(a\ne0\). Оно имеет не более трёх действительных корней.

• Простейшие. \((x-1)^3=8\): извлекаем кубический корень из обеих частей: \(x-1=2\), \(x=3\). Кубический корень существует из любого числа, поэтому \((x-1)^3=-8\) даёт \(x-1=-2\).
• Группировка. Группируем слагаемые так, чтобы вынести общую скобку: \(x^3+3x^2-4x-12=(x+3)(x^2-4)\), корни \(-3;\,-2;\,2\).
• Подбор корня. Целые (рациональные) корни ищут среди делителей свободного члена \(d\). Найденный корень \(x_0\) даёт множитель \((x-x_0)\); оставшееся квадратное уравнение решают по дискриминанту или Виету. Например, \(x^3-7x^2+14x-8=(x-1)(x^2-6x+8)\), корни \(1;\,2;\,4\).
• Теорема Безу: если число \(b\) — корень многочлена \(f(x)\), то \(f(x)\) делится на \((x-b)\) без остатка.
• Возвратное уравнение \(ax^3+bx^2+bx+a=0\) всегда имеет корень \(x=-1\); тогда \((x+1)\bigl(ax^2+(b-a)x+a\bigr)=0\).
• Виета для кубического: \(x_1+x_2+x_3=-\dfrac ba\), \(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=\dfrac ca\), \(x_1x_2x_3=-\dfrac da\).

Разобранные примеры