Задание 7 · Простейшие уравнения

7.3. Иррациональные уравнения

Для репетитора: показать ответы

1. Основные понятия

Иррациональное уравнение — уравнение, в котором переменная стоит под знаком корня.
Арифметический корень $n$-й степени из $a$ — число, $n$-я степень которого равна $a$.
Для чётного $n$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным, а значение корня — тоже неотрицательно. Для нечётного $n$ корень определён при любом $a$.

2. Три основных типа и равносильные переходы

Тип	Равносильное уравнение или система
корень нечётной степени равен числу или выражению	$\sqrt[m]{f(x)}=a\iff f(x)=a^m$ ($m$ нечётное, $m\ge3$)
корень чётной степени равен числу	$\sqrt[n]{f(x)}=b\iff f(x)=b^n$ при $b\ge0$
квадратный корень равен выражению	$\sqrt{f(x)}=g(x)\iff\begin{cases}g(x)\ge0,\\ f(x)=g^2(x)\end{cases}$

Для корня чётной степени вообще: $\sqrt[n]{f(x)}=g(x)\iff\begin{cases}g(x)\ge0,\\ f(x)=g^n(x).\end{cases}$ Если уравнение сводится к такой системе, то условие $f(x)\ge0$ выполняется автоматически (ведь $f(x)=g^n(x)\ge0$), и отдельно его проверять не нужно.

3. Алгоритм решения

Определить тип уравнения (корень какой степени, чему равен).
Возвести обе части в нужную степень, чтобы избавиться от корня, и решить получившееся уравнение.
Для квадратного корня обязательно учесть условие $g(x)\ge0$ — проверить корни по нему.
Если решали без перехода к системе (возведением в квадрат), проверить найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

4. Способы решения

Переход к равносильной системе (неравенство для правой части и уравнение без корня). Корни, удовлетворяющие системе, проверять подстановкой не нужно.
Возведение в квадрат с последующей проверкой подстановкой: способ даёт уравнение-следствие, и посторонние корни возможны.
Замена переменной. Выражение с корнем обозначают через $t$, причём $t\ge0$ для корня чётной степени. Например, для $\sqrt{x+3}=t$ уравнение сводится к квадратному $t^2-3t-10=0$; корень $t=-2$ отбрасывают как отрицательный, из $t=5$ получают $x+3=25$, $x=22$.
Учёт ОДЗ. Область допустимых значений находят до преобразований, а корни проверяют по ней. ОДЗ иногда сразу отсекает лишний корень.

Ошибка: возвели в квадрат и не проверили. Возведение в квадрат даёт посторонние корни. Например, в уравнении $\sqrt{4+2x-x^2}=x-2$ после возведения получаются $x=0$ и $x=3$; при $x=0$ левая часть равна 2, а правая $-2$, поэтому $x=0$ не подходит. Ответ: $x=3$.

Ошибка: пропустили условие $g(x)\ge0$. Без неравенства для правой части в ответе появляются лишние корни. Не забывайте и про ОДЗ подкоренного выражения.

Лайфхак 1. Сначала знак правой части. В уравнении $\sqrt{f}=g$ сразу запишите $g\ge0$. Если правая часть — отрицательное число, корней нет, возводить в квадрат не нужно.

Лайфхак 2. Корень нечётной степени — без проверки. Корень нечётной степени (например, кубический) определён для любых чисел, поэтому после возведения в нечётную степень посторонних корней не появляется.

Лайфхак 3. Равносильная система вместо проверки. Перейдя к системе $g\ge0,\ f=g^2$, вы получаете только подходящие корни и не подставляете их в корень.

Разобранные примеры

Пример 1

Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: x плюс 3 конец аргумента =3.$

Решение

Возведём в квадрат обе части уравнения:

$x плюс 3=9 равносильно x=6.$

Ответ:6.

Пример 2

Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 13 плюс 2x конец аргумента =5.$

Решение

Возведем в квадрат обе части уравнения:

$13 плюс 2x=25 равносильно 2x=12 равносильно x=6.$

Ответ:6.

Пример 3

Решите уравнение $корень из: начало аргумента: x минус 2 конец аргумента =6.$

Решение

Возведём в квадрат обе части уравнения. Получим $x минус 2=36,$ откуда $x=38.$

Ответ: 38.

Источники

«Урок по алгебре для 11 класса по теме "Решение иррациональных уравнений. Подготовка к ЕГЭ"», И. Н. Тютюнникова, infourok.ru, 2013
«Простейшие уравнения», задание №6 ЕГЭ, А. Н. Пенькова, iro23.ru
«Различные виды уравнений», Г. П. Грязнова, ГБОУ «Институт развития образования» Краснодарского края (iro23.ru), 2024

У1
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 15 минус 2x конец аргумента =3.$
У2
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2x плюс 5, знаменатель: 3 конец дроби конец аргумента =5.$
У3
Найдите корень уравнения $корень 3 степени из: начало аргумента: x минус 4 конец аргумента = 3.$
У4
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 5x минус 30 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$
У5
Найдите корень уравнения: $корень из: начало аргумента: минус 72 плюс 17x конец аргумента =x.$ Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
У6
Решите уравнение $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 11 минус x конец дроби конец аргумента =1.$
У7
Найдите корень уравнения $корень 3 степени из: начало аргумента: x минус 6 конец аргумента =2.$
У8
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 57 минус 7x конец аргумента =6.$
У9
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 5x плюс 26, знаменатель: 6 конец дроби конец аргумента =6.$
У10
Найдите корень уравнения $корень 3 степени из: начало аргумента: x минус 10 конец аргумента = 6.$
У11
Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 45 плюс 4x конец аргумента =x.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
У12
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 15 минус 2x конец аргумента =3.$
У13
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 5x плюс 51, знаменатель: 11 конец дроби конец аргумента =6.$
У14
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 55 минус 3x конец аргумента =7.$
У15
Решите уравнение $корень 3 степени из: начало аргумента: x минус 7 конец аргумента =4$
У16
Решите уравнение $корень из: начало аргумента: минус 3 плюс 4x конец аргумента =x.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
У17
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 51 минус 5x конец аргумента =6.$
У18
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 7, знаменатель: 4x минус 57 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$
У19
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 10, знаменатель: 4x минус 58 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$
У20
Найдите корень уравнения $корень 3 степени из: начало аргумента: x плюс 7 конец аргумента = 8.$
У21
Найдите корень уравнения 5^{2 + x} = 125^x.
У22
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 52 минус 6x конец аргумента =4.$
У23
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 53 минус 4x конец аргумента =7.$
У24
Найдите корень уравнения: $корень из: начало аргумента: 63 минус 9 x конец аргумента =3.$
У25
Найдите корень уравнения: $корень из: начало аргумента: 4x плюс 32 конец аргумента =8.$
У26
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 4x минус 23 конец аргумента = 3.$
У27
Найдите корень уравнения: $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 5, знаменатель: 3x минус 6 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$
У28
Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 7x плюс 18 конец аргумента =x.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
У29
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 6x минус 57 конец аргумента = 9.$
У30
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 9x минус 47 конец аргумента = 4.$

Д1
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 6, знаменатель: 4x минус 54 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$
Д2
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 3x минус 8 конец аргумента =5.$
Д3
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 34 минус 3x конец аргумента =x минус 2.$
Д4
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 7x плюс 28, знаменатель: 18 конец дроби конец аргумента =7.$
Д5
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: x плюс 32 конец аргумента =6.$
Д6
Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 12 плюс x конец аргумента =x.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Д7
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 73 минус x конец аргумента =x минус 1.$
Д8
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 18, знаменатель: 2x минус 52 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$
Д9
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 6x плюс 4 конец аргумента =2.$
Д10
Решите уравнение $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 5, знаменатель: 15 минус x конец дроби конец аргумента =1.$
Д11
Найдите корень уравнения $корень 3 степени из: начало аргумента: x плюс 9 конец аргумента =5.$
Д12
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 6, знаменатель: 2x минус 42 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби .$
Д13
Найдите корень уравнения $корень 3 степени из: начало аргумента: x плюс 4 конец аргумента = 3.$
Д14
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 4x минус 58 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби .$
Д15
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 8, знаменатель: 3x минус 43 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби$
Д16
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 2, знаменатель: 2x минус 54 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$
Д17
Найдите корень уравнения $корень 3 степени из: начало аргумента: x минус 5 конец аргумента =3.$
Д18
Решите уравнение $корень из: начало аргумента: минус 35 плюс 12x конец аргумента =x.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Д19
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 64 минус 3x конец аргумента =7.$
Д20
Решите уравнение $корень из: начало аргумента: минус 40 плюс 13x конец аргумента =x.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Д21
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 3, знаменатель: 5x минус 30 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$
Д22
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 7, знаменатель: 4x минус 57 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$
Д23
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 3x плюс 49 конец аргумента =10.$
Д24
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 5x минус 1 конец аргумента = 7.$
Д25
Найдите корень уравнения: $корень из: начало аргумента: дробь: числитель: 5, знаменатель: 3x минус 7 конец дроби конец аргумента = дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби .$
Д26
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 28 минус 2x конец аргумента = 2.$
Д27
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 8x минус 20 конец аргумента = 2.$
Д28
Найдите корень уравнения: $корень из: начало аргумента: 4x плюс 32 конец аргумента =8.$
Д29
Решите уравнение $корень из: начало аргумента: 2x плюс 35 конец аргумента =x.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите больший из корней.
Д30
Найдите корень уравнения $корень из: начало аргумента: 7x минус 31 конец аргумента = 2.$

Тип	Равносильное уравнение или система
корень нечётной степени равен числу или выражению	\(\sqrt[m]{f(x)}=a\iff f(x)=a^m\) (\(m\) нечётное, \(m\ge3\))
корень чётной степени равен числу	\(\sqrt[n]{f(x)}=b\iff f(x)=b^n\) при \(b\ge0\)
квадратный корень равен выражению	\(\sqrt{f(x)}=g(x)\iff\begin{cases}g(x)\ge0,\\ f(x)=g^2(x)\end{cases}\)