Задание 7 · Простейшие уравнения

7.4. Показательные уравнения

Для репетитора: показать ответы

1. Показательное уравнение

Показательное уравнение — уравнение, в котором переменная стоит в показателе степени, например $a^{f(x)}=b$. Основание $a$ всегда удовлетворяет условию $a>0$, $a\ne1$.

Свойства степеней, которые нужны

$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$, $\dfrac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$, $(a^m)^n=a^{mn}$, $(ab)^n=a^nb^n$;
$a^0=1$, $a^{-k}=\dfrac{1}{a^k}=\left(\dfrac1a\right)^k$;
$\sqrt[n]{a^m}=a^{m/n}$.

2. Основные типы и теоремы

Тип	Равносильный переход ($a>0,\ a\ne1$)
$a^{f(x)}=a^b$	$f(x)=b$
$a^{f(x)}=a^{g(x)}$	$f(x)=g(x)$
$a^{f(x)}=1$	$f(x)=0$, так как $a^0=1$
$A\cdot a^{f(x)}=B\cdot b^{f(x)}$	$\left(\dfrac ab\right)^{f(x)}=\dfrac BA$
$a^x=b$, $b>0$	$x=\log_a b$
$a^x=b$, $b\le0$	корней нет (степень положительна)

3. Способы решения

Приведение к одному основанию. Обе части записывают как степени одного числа (например, $729=9^3$, $\dfrac19=\left(\dfrac13\right)^2$, $\dfrac{1}{343}=7^{-3}$, $64^x=8^{2x}$), затем приравнивают показатели.
Вынесение общего множителя за скобки. Если в уравнении несколько степеней с одним основанием (например, $3^{x+1}+3^x$), выносят меньшую степень и получают произведение числа и степени.
Замена переменной. Обозначают $t=a^x$ ($t>0$), получают, как правило, квадратное уравнение, решают, возвращаются к $x$; значения $t\le0$ отбрасывают.
Деление на степень с одним из оснований для уравнений вида $A\cdot a^{f}=B\cdot b^{f}$: получают равенство степеней с одним основанием.

4. Что нужно проверять

Основание положительно и не равно единице.
Знак показателя при переносе степени в другую часть (например, при $a^{-k}$).
При замене $t=a^x$ помнить, что $t>0$.

Ошибка: основание не проверено. Правило «равны основания — равны показатели» работает только при $a>0$ и $a\ne1$. Ещё одна частая ошибка — неверный знак показателя при переносе степени в другую часть.

Лайфхак 1. Отрицательная степень — переворот дроби. Если основание дробное, а в другой части стоит его «перевёрнутая» дробь, используйте $a^{-k}=\left(\dfrac1a\right)^k$: например, $\dfrac{1}{343}=7^{-3}$.

Лайфхак 2. Десятичные дроби — в обыкновенные. Число $0{,}4=\dfrac25$ помогает привести обе части к основанию $\dfrac25$, $0{,}2=\dfrac15=5^{-1}$, $0{,}5=2^{-1}$.

Лайфхак 3. Приведение к единице. Если справа число 1, то показатель слева равен нулю: $a^{f(x)}=1\iff f(x)=0$.

Лайфхак 4. Если показатели разные, а основания связаны. Запишите основания как степени одного числа: $8^{9-x}=64^x$ превращается в $8^{9-x}=8^{2x}$.

Разобранные примеры

Пример 1

Найдите корень уравнения: $7 в степени левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка =343.$

Решение

Перейдем к одному основанию степени:

$7 в степени левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка = 343 равносильно 7 в степени левая круглая скобка 2 плюс x правая круглая скобка = 7 в кубе равносильно 2 плюс x = 3 равносильно x=1.$

Ответ: 1.

Пример 2

Решите уравнение $5 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка = 125.$

Решение

Перейдем к одному основанию степени:

$5 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка = 125 равносильно 5 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка = 5 в кубе равносильно x минус 2 = 3 равносильно x = 5.$

Ответ: 5.

Пример 3

Решите уравнение $7 в степени левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка =49.$

Решение

Перейдем к одному основанию степени:

$7 в степени левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка =49 равносильно 7 в степени левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка =7 в квадрате равносильно x минус 4=2 равносильно x=6.$

Ответ: 6.

Источники

«Простейшие уравнения», задание №6 ЕГЭ, А. Н. Пенькова, iro23.ru
«Различные виды уравнений», Г. П. Грязнова, ГБОУ «Институт развития образования» Краснодарского края (iro23.ru), 2024
«Решение показательных уравнений и неравенств», конспект урока обобщения, 11 класс, infourok.ru

У1
Найдите корень уравнения $5 в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби .$
У2
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка =32.$
У3
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 13 правая круглая скобка =3.$
У4
Найдите корень уравнения: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 8 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 3 плюс x правая круглая скобка =512.$
У5
Решите уравнение $8 в степени левая круглая скобка 9 минус x правая круглая скобка =64 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка .$
У6
Найдите корень уравнения $8 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка = 4 в степени x .$
У7
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби .$
У8
Найдите корень уравнения $16 в степени левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$
У9
Найдите корень уравнения  $3 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка =27.$
У10
Решите уравнение $5 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 5 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка = 500.$
У11
Найдите корень уравнения: $3 в степени левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка =27.$
У12
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби .$
У13
Найдите корень уравнения $81 в степени левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$
У14
Найдите решение уравнения: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 17 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =17 в степени x .$
У15
Найдите корень уравнения $0,5 в степени левая круглая скобка 6 минус 2x правая круглая скобка =32.$
У16
Найдите корень уравнения: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1 минус x правая круглая скобка =4.$
У17
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка =4 в степени x .$
У18
Решите уравнение $8 в степени левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка =0,64 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 3 минус 2x правая круглая скобка .$
У19
Найдите корень уравнения $16 в степени левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка =0,5.$
У20
Найдите корень уравнения: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка =5.$
У21
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка =4 в степени x .$
У22
Найдите корень уравнения $6 в степени левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка =0,6 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 2 минус 5x правая круглая скобка .$
У23
Найдите корень уравнения $36 в степени левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби$
У24
Найдите корень уравнения $4 в степени левая круглая скобка x минус 15 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$
У25
Найдите корень уравнения $9 в степени левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка = 1,8 умножить на 5 в степени левая круглая скобка 2 минус 5 x правая круглая скобка .$
У26
Решите уравнение $3 в степени левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби .$
У27
Найдите корень уравнения $36 в степени левая круглая скобка x минус 12 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$
У28
Найдите корень уравнения $4 в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка = 0,4 умножить на 10 в степени левая круглая скобка 4 минус x правая круглая скобка .$
У29
Найдите корень уравнения $49 в степени левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .$
У30
Найдите корень уравнения $3 в степени левая круглая скобка 2x минус 16 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 81 конец дроби .$

Д1
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби .$
Д2
Найдите корень уравнения $16 в степени левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$
Д3
Найдите корень уравнения: $9 в степени левая круглая скобка минус 5 плюс x правая круглая скобка =729.$
Д4
Найдите решение уравнения: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка =2 в степени x .$
Д5
Решите уравнение $6 в степени левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка минус 6 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка = 180.$
Д6
Найдите корень уравнения $3 в степени левая круглая скобка 2x минус 19 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 27 конец дроби .$
Д7
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 6 минус 2x правая круглая скобка =36.$
Д8
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 13 правая круглая скобка =3.$
Д9
Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка 6 плюс x правая круглая скобка =81 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка .$
Д10
Найдите корень уравнения $27 умножить на левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка = 9 в степени x .$
Д11
Найдите корень уравнения $5 в степени левая круглая скобка x минус 12 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 125 конец дроби .$
Д12
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 6 минус 2x правая круглая скобка =4.$
Д13
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 49 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 8 правая круглая скобка =7.$
Д14
Решите уравнение $9 в степени левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка =81 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка .$
Д15
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 5x минус 3 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 49 конец дроби .$
Д16
Найдите корень уравнения $9 в степени левая круглая скобка x минус 10 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$
Д17
Найдите решение уравнения: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 19 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка =19 в степени x .$
Д18
Найдите корень уравнения $16 в степени левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка =0,5.$
Д19
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка =125.$
Д20
Найдите корень уравнения $16 в степени левая круглая скобка x минус 14 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби .$
Д21
Найдите корень уравнения 3^{x − 5} = 81.
Д22
Найдите корень уравнения 6^{2 − 4x} = 36^3x.
Д23
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 минус 3x правая круглая скобка =32.$
Д24
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка =8 в степени x .$
Д25
Найдите корень уравнения $7 в степени левая круглая скобка 6 минус 5x правая круглая скобка =49.$
Д26
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 6 минус 2x правая круглая скобка =36.$
Д27
Найдите корень уравнения $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка =8 в степени x .$
Д28
Найдите корень уравнения: $левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка = 81.$
Д29
Найдите корень уравнения $8 в степени левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в степени x .$
Д30
Найдите корень уравнения $27 в степени левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка = левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка в степени x .$

Тип	Равносильный переход (\(a>0,\ a\ne1\))
\(a^{f(x)}=a^b\)	\(f(x)=b\)
\(a^{f(x)}=a^{g(x)}\)	\(f(x)=g(x)\)
\(a^{f(x)}=1\)	\(f(x)=0\), так как \(a^0=1\)
\(A\cdot a^{f(x)}=B\cdot b^{f(x)}\)	\(\left(\dfrac ab\right)^{f(x)}=\dfrac BA\)
\(a^x=b\), \(b>0\)	\(x=\log_a b\)
\(a^x=b\), \(b\le0\)	корней нет (степень положительна)