Задание 7 · Простейшие уравнения

7.5. Логарифмические уравнения

Для репетитора: показать ответы

1. Логарифм и его свойства

Логарифм числа $b$ по основанию $a$ ($a>0,\ a\ne1,\ b>0$) — показатель степени, в которую нужно возвести $a$, чтобы получить $b$: $a^{\log_a b}=b$. Логарифмическое уравнение — уравнение, в котором неизвестное стоит под знаком логарифма (в том числе в основании).

Свойство ($a>0,\ a\ne1,\ b>0,\ c>0$)	Формула
Логарифм произведения	$\log_a(bc)=\log_a b+\log_a c$
Логарифм частного	$\log_a\dfrac bc=\log_a b-\log_a c$
Логарифм степени	$\log_a b^k=k\log_a b$
Переход к другому основанию	$\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$
Основное логарифмическое тождество	$a^{\log_a b}=b$

Если функции под логарифмом могут быть отрицательными, то правильные формулы содержат модули: $\log_a(fg)=\log_a|f|+\log_a|g|$ при $fg>0$, $\log_a f^{2k}=2k\log_a|f|$. Применяя свойства без учёта этих условий, можно получить расширенное ОДЗ и посторонние корни.

2. ОДЗ

Аргумент каждого логарифма строго больше нуля.
Основание каждого логарифма строго больше нуля и не равно единице.

Если уравнение решают равносильными переходами, учитывая ОДЗ, корни сразу годятся. Если получено уравнение-следствие или преобразования выполнены без учёта ОДЗ, корни нужно проверить подстановкой.

3. Основные типы уравнений

Тип	Переход
$\log_a f(x)=b$	$f(x)=a^b$ (при этом $f(x)>0$ выполняется автоматически)
$\log_a f(x)=\log_a g(x)$	система $\begin{cases}f(x)=g(x),\\ f(x)>0\end{cases}$ (или $g(x)>0$ — выбирают неравенство, которое решать проще)
$\log_{f(x)}a=b$	система $\begin{cases}f(x)>0,\\ f(x)\ne1,\\ f^b(x)=a\end{cases}$
$\log_{u(x)}f(x)=\log_{u(x)}g(x)$	$\begin{cases}u(x)>0,\ u(x)\ne1,\\ f(x)>0,\\ f(x)=g(x)\end{cases}$

Простейшее уравнение $\log_a x=b$ при $a>0,\ a\ne1$ всегда имеет единственный корень $x=a^b$.

4. Методы решения

По определению логарифма: $\log_a f(x)=b\iff f(x)=a^b$.
Потенцирование: переход от $\log_a f=\log_a g$ к $f=g$ с проверкой ОДЗ (потенцирование расширяет область допустимых значений, поэтому нужна проверка).
Использование свойств логарифмов: сумму и разность логарифмов с одним основанием заменяют логарифмом произведения (частного), множитель перед логарифмом вносят в степень: $r\log_a b=\log_a b^r$.
Замена переменной: $y=\log_a x$, решают алгебраическое уравнение, возвращаются к $x$.
Разложение на множители: общий множитель-логарифм выносят за скобку, каждый множитель приравнивают к нулю.
Переход к другому основанию: приводит слагаемые к одному основанию; например, $\log_3 x+\log_x 3=2$ после замены $t=\log_3 x$ превращается в $t+\dfrac1t=2$.

5. Алгоритм

Записать ОДЗ: аргументы логарифмов положительны, основания положительны и отличны от 1.
Свести уравнение к одному из основных типов с помощью свойств логарифмов.
Решить получившееся уравнение.
Проверить корни по ОДЗ и отбросить посторонние.

Ошибка: нет проверки ОДЗ. После потенцирования или применения свойства логарифма произведения область допустимых значений расширяется, и корни могут оказаться посторонними. Например, $\lg(x+1)+\lg x=\lg 6$ приводит к $x(x+1)=6$ и корням $-3$ и $2$; корень $-3$ не входит в ОДЗ.

Ошибка: забыли условие $f(x)\ne1$. Для логарифма с переменным основанием нужно потребовать $f(x)>0$ и $f(x)\ne1$. Ещё одна ошибка — не вернуться к исходной переменной после замены.

Лайфхак 1. Выберите проще неравенство. В уравнении $\log_a f=\log_a g$ достаточно одного условия положительности — $f>0$ или $g>0$ на выбор. Берите то, которое решается быстрее.

Лайфхак 2. Число в логарифм. Число можно записать как логарифм: $3\log_3 4=\log_3 64$. Так обе части приводятся к виду $\log_a f=\log_a g$.

Лайфхак 3. Проверка подстановкой. Если вы решали через следствие, подстановка корней в исходное уравнение — самый надёжный способ проверки.

Разобранные примеры

Пример 1

Найдите корень уравнения $\log _5} левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =\log _53.$

Решение

Последовательно получаем:

$\log _5 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =\log _53 равносильно 5 минус x=3 равносильно x=2.$

Ответ: 2.

Пример 2

Найдите корень уравнения $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка =3.$

Решение

Последовательно получаем:

$\log _4 левая круглая скобка x минус 4 правая круглая скобка =3 равносильно x минус 4=4 в кубе равносильно x минус 4=64 равносильно x=68.$

Ответ: 68.

Пример 3

Найдите корень уравнения $\log _5 левая круглая скобка 4 плюс x правая круглая скобка =2.$

Решение

Последовательно получаем:

$\log _5 левая круглая скобка 4 плюс x правая круглая скобка =2 равносильно 4 плюс x=5 в квадрате равносильно 4 плюс x=25 равносильно x=21.$

Ответ: 21.

Источники

«Простейшие уравнения», задание №6 ЕГЭ, А. Н. Пенькова, iro23.ru
«Различные виды уравнений», Г. П. Грязнова, ГБОУ «Институт развития образования» Краснодарского края (iro23.ru), 2024
«Логарифмические уравнения и методы их решения», конспект урока, 11 класс, Н. Н. Пилишкина, infourok.ru
«Логарифмические уравнения», методический материал, urok.1sept.ru

У1
Найдите корень уравнения $\log _4 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка =\log _4 левая круглая скобка 4x минус 15 правая круглая скобка .$
У2
Решите уравнение $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 7 минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 3 минус x правая круглая скобка плюс 1.$
У3
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка = 4.$
У4
Решите уравнение $логарифм по основанию 2 дробь: числитель: x, знаменатель: 6 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 0,5 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка .$ Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
У5
Найдите корень уравнения $\log _5 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =\log _53.$
У6
Найдите корень уравнения $\log _4 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка =\log _4 левая круглая скобка 4x минус 15 правая круглая скобка .$
У7
Решите уравнение $логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 4 плюс 7x правая круглая скобка = логарифм по основанию 4 левая круглая скобка 1 плюс 5x правая круглая скобка плюс 1.$
У8
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 6x минус 3 правая круглая скобка = 4.$
У9
Решите уравнение $логарифм по основанию 5 дробь: числитель: x, знаменатель: 2 конец дроби = логарифм по основанию левая круглая скобка 0,2 правая круглая скобка левая круглая скобка x плюс 1 правая круглая скобка .$ Если уравнение имеет больше одного корня, в ответ запишите меньший из корней.
У10
Найдите корень уравнения $\log _7 левая круглая скобка x плюс 9 правая круглая скобка =\log _7 левая круглая скобка 2x минус 11 правая круглая скобка .$
У11
Найдите корень уравнения $\log _4 левая круглая скобка 16 минус 2x правая круглая скобка =2\log _43.$
У12
Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 6 правая круглая скобка 4=2.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
У13
Найдите корень уравнения $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x плюс 5 правая круглая скобка правая круглая скобка = 7.$
У14
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка левая круглая скобка 3 плюс x правая круглая скобка = логарифм по основанию левая круглая скобка 6 правая круглая скобка 11.$
У15
Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 1 правая круглая скобка 81=2.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
У16
Найдите корень уравнения $3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка = 7.$
У17
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4x правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка x в квадрате плюс 4 правая круглая скобка$
У18
Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 5x плюс 5 правая круглая скобка = 2.$
У19
Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 3 правая круглая скобка 16=2.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
У20
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x минус 4 правая круглая скобка = 4.$
У21
Найдите корень уравнения: $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 8 плюс 7x правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 3 плюс x правая круглая скобка плюс 1.$
У22
Найдите корень уравнения $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x плюс 5 правая круглая скобка правая круглая скобка = 9.$
У23
Решите уравнение $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 6 плюс 5x правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 4 минус 5x правая круглая скобка плюс 2.$
У24
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 8 плюс 5x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 3 плюс x правая круглая скобка плюс 2.$
У25
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка левая круглая скобка 5x плюс 47 правая круглая скобка =3.$
У26
Найдите корень уравнения $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 8 правая круглая скобка левая круглая скобка 4x минус 5 правая круглая скобка правая круглая скобка =7.$
У27
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 x плюс 1.$
У28
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 2.$
У29
Найдите корень уравнения $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 16 правая круглая скобка левая круглая скобка 6x плюс 7 правая круглая скобка правая круглая скобка =2.$
У30
Решите уравнение $логарифм по основанию 6 левая круглая скобка x плюс 3 правая круглая скобка = 2.$

Д1
Решите уравнение $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс 2x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка x в квадрате плюс 10 правая круглая скобка .$
Д2
Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 5 правая круглая скобка 49=2.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Д3
Решите уравнение $логарифм по основанию x 32=5.$
Д4
Найдите корень уравнения: $\mathop\mathrmlog\nolimits_9 левая круглая скобка минус 4 плюс x правая круглая скобка =3.$
Д5
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 9 левая круглая скобка 3 плюс x правая круглая скобка = логарифм по основанию 9 11.$
Д6
Решите уравнение $логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x в квадрате плюс 5x правая круглая скобка = логарифм по основанию 7 левая круглая скобка x в квадрате плюс 6 правая круглая скобка .$
Д7
Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 2 правая круглая скобка 16=2.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите меньший из них.
Д8
Решите уравнение $логарифм по основанию x 27=3.$
Д9
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 8 левая круглая скобка 5x плюс 47 правая круглая скобка = 3.$
Д10
Найдите корень уравнения $\log _ дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби левая круглая скобка 8 минус 4x правая круглая скобка = минус 2.$
Д11
Решите уравнение $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 6 плюс 5x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 2 минус x правая круглая скобка плюс 1.$
Д12
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию левая круглая скобка 81 правая круглая скобка 3 в степени левая круглая скобка 2x минус 6 правая круглая скобка =2.$
Д13
Найдите корень уравнения $\log _6 левая круглая скобка 5 минус x правая круглая скобка =0.$
Д14
Решите уравнение $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 плюс 6x правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 левая круглая скобка 7 минус 6x правая круглая скобка плюс 2.$
Д15
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию левая круглая скобка 4 правая круглая скобка 2 в степени левая круглая скобка 8x плюс 8 правая круглая скобка = 4.$
Д16
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 6 3.$
Д17
Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка 25=2.$ Если уравнение имеет более одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Д18
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 8 плюс 3x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 7 минус 3x правая круглая скобка плюс 1.$
Д19
Найдите корень уравнения $3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 81 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x плюс 5 правая круглая скобка правая круглая скобка = 4.$
Д20
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 6 левая круглая скобка 8 минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 6 3.$
Д21
Решите уравнение $логарифм по основанию левая круглая скобка x минус 7 правая круглая скобка 64 = 2.$ Если уравнение имеет больше одного корня, в ответе запишите меньший из корней.
Д22
Найдите корень уравнения: $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 5 плюс 6x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 1 плюс 4x правая круглая скобка плюс 1.$
Д23
Найдите корень уравнения $5 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 25 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка правая круглая скобка =3.$
Д24
Найдите корень уравнения $3 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 27 правая круглая скобка левая круглая скобка 3x минус 2 правая круглая скобка правая круглая скобка =7.$
Д25
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 6 плюс 7x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 4 плюс x правая круглая скобка плюс 1.$
Д26
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 7 левая круглая скобка 18 минус 4x правая круглая скобка =2 логарифм по основанию 7 2.$
Д27
Найдите корень уравнения $2 в степени левая круглая скобка логарифм по основанию левая круглая скобка 16 правая круглая скобка левая круглая скобка 2x минус 5 правая круглая скобка правая круглая скобка =2.$
Д28
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 2 левая круглая скобка x плюс 7 правая круглая скобка = логарифм по основанию 2 x плюс 1.$
Д29
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 3 левая круглая скобка 15 минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 3 7.$
Д30
Найдите корень уравнения $логарифм по основанию 5 левая круглая скобка 17 минус x правая круглая скобка = логарифм по основанию 5 3.$

Тип	Переход
\(\log_a f(x)=b\)	\(f(x)=a^b\) (при этом \(f(x)>0\) выполняется автоматически)
\(\log_a f(x)=\log_a g(x)\)	система \(\begin{cases}f(x)=g(x),\\ f(x)>0\end{cases}\) (или \(g(x)>0\) — выбирают неравенство, которое решать проще)
\(\log_{f(x)}a=b\)	система \(\begin{cases}f(x)>0,\\ f(x)\ne1,\\ f^b(x)=a\end{cases}\)
\(\log_{u(x)}f(x)=\log_{u(x)}g(x)\)	\(\begin{cases}u(x)>0,\ u(x)\ne1,\\ f(x)>0,\\ f(x)=g(x)\end{cases}\)

Свойство (\(a>0,\ a\ne1,\ b>0,\ c>0\))	Формула
Логарифм произведения	\(\log_a(bc)=\log_a b+\log_a c\)
Логарифм частного	\(\log_a\dfrac bc=\log_a b-\log_a c\)
Логарифм степени	\(\log_a b^k=k\log_a b\)
Переход к другому основанию	\(\log_a b=\dfrac{\log_c b}{\log_c a}\)
Основное логарифмическое тождество	\(a^{\log_a b}=b\)