Задание 7 · Простейшие уравнения
7.6. Тригонометрические уравнения
Для репетитора: показать ответы
1. Обратные тригонометрические функции
Чтобы записать корень уравнения вида \(\sin x=a\), нужен «угол с заданным синусом». Для этого и введены арки. Каждая арка — это угол из строго определённого промежутка.
| Функция | Что это за угол | Значение лежит в промежутке |
|---|---|---|
| \(\arcsin a\), \(|a|\le1\) | угол, синус которого равен \(a\) | \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\) |
| \(\arccos a\), \(|a|\le1\) | угол, косинус которого равен \(a\) | \([0;\pi]\) |
| \(\operatorname{arctg} a\), \(a\in\mathbb{R}\) | угол, тангенс которого равен \(a\) | \(\left(-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right)\) |
| \(\operatorname{arcctg} a\), \(a\in\mathbb{R}\) | угол, котангенс которого равен \(a\) | \((0;\pi)\) |
- \(\arcsin(-a)=-\arcsin a\) и \(\operatorname{arctg}(-a)=-\operatorname{arctg} a\) (эти функции нечётные).
- \(\arccos(-a)=\pi-\arccos a\) и \(\operatorname{arcctg}(-a)=\pi-\operatorname{arcctg} a\).
Значения, которые нужно знать наизусть
| \(a\) | \(\arcsin a\) | \(\arccos a\) | \(\operatorname{arctg} a\) |
|---|---|---|---|
| \(0\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(0\) |
| \(\dfrac12\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | — |
| \(\dfrac{\sqrt2}{2}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) | — |
| \(\dfrac{\sqrt3}{2}\) | \(\dfrac{\pi}{3}\) | \(\dfrac{\pi}{6}\) | — |
| \(1\) | \(\dfrac{\pi}{2}\) | \(0\) | \(\dfrac{\pi}{4}\) |
| \(\dfrac{\sqrt3}{3}\) | — | — | \(\dfrac{\pi}{6}\) |
| \(\sqrt3\) | — | — | \(\dfrac{\pi}{3}\) |
2. Формулы корней простейших уравнений
| Уравнение | Когда есть решения | Все решения (\(n\in\mathbb{Z}\)) |
|---|---|---|
| \(\sin x=a\) | \(-1\le a\le1\) | \(x=\arcsin a+2\pi n\) и \(x=\pi-\arcsin a+2\pi n\) (одной формулой: \(x=(-1)^n\arcsin a+\pi n\)) |
| \(\cos x=a\) | \(-1\le a\le1\) | \(x=\pm\arccos a+2\pi n\) |
| \(\operatorname{tg}x=a\) | любое \(a\) | \(x=\operatorname{arctg}a+\pi n\) |
| \(\operatorname{ctg}x=a\) | любое \(a\) | \(x=\operatorname{arcctg}a+\pi n\) |
Если \(|a|>1\), уравнения \(\sin x=a\) и \(\cos x=a\) корней не имеют: синус и косинус не выходят за пределы отрезка \([-1;1]\).
Период синуса и косинуса — \(2\pi\), период тангенса и котангенса — \(\pi\). Поэтому у синуса и косинуса к значению добавляют \(2\pi n\) (или \(\pi n\) в записи через \((-1)^n\)), а у тангенса и котангенса — \(\pi n\).
3. Частные случаи (на окружности это точки на осях)
| Уравнение | Решения, \(n\in\mathbb{Z}\) |
|---|---|
| \(\sin x=0\) | \(x=\pi n\) |
| \(\sin x=1\) | \(x=\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\) |
| \(\sin x=-1\) | \(x=-\dfrac{\pi}{2}+2\pi n\) |
| \(\cos x=0\) | \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\) |
| \(\cos x=1\) | \(x=2\pi n\) |
| \(\cos x=-1\) | \(x=\pi+2\pi n\) |
| \(\operatorname{tg}x=0\) | \(x=\pi n\) |
| \(\operatorname{tg}x=1\) | \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n\) |
| \(\operatorname{tg}x=-1\) | \(x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\) |
| \(\operatorname{ctg}x=0\) | \(x=\dfrac{\pi}{2}+\pi n\) |
| \(\operatorname{ctg}x=1\) | \(x=\dfrac{\pi}{4}+\pi n\) |
| \(\operatorname{ctg}x=-1\) | \(x=-\dfrac{\pi}{4}+\pi n\) |
4. Если под функцией не просто \(x\)
В задании №7 под знаком функции обычно стоит выражение с \(x\), например \(\cos\dfrac{\pi(x+1)}{3}\). Тогда используют замену: обозначьте весь аргумент одной буквой \(t\), решите простейшее уравнение относительно \(t\) по формулам из раздела 2, а затем вернитесь к \(x\).
Уравнения, в которых тригонометрическая функция входит в квадратное или другое алгебраическое уравнение, тоже сводятся к простейшим заменой \(t=\sin x\), \(t=\cos x\) и т. д. После решения алгебраического уравнения нужно проверить область значений: для синуса и косинуса подходят только \(|t|\le1\).
5. Как найти нужный корень (наименьший положительный, наибольший отрицательный, корень на промежутке)
Формулы дают бесконечно много корней — по одному на каждое целое \(n\). В ответе нужен один, и его выбирают так:
- Запишите общее решение для \(x\) (после возврата от замены).
- Запишите условие из задачи как неравенство для \(x\): например, \(x>0\) или \(a\le x\le b\).
- Подставьте общее решение в это неравенство и решите его относительно \(n\) — получится двойное неравенство для целого числа.
- Найдите подходящие целые \(n\), подставьте их в формулу и сравните корни. Если серий две, перебирайте обе.
- Проверьте границы промежутка: на них легко получить лишний корень или потерять нужный.
Такой отбор через неравенство для \(n\) надёжнее, чем перебор «на глаз».
6. Единичная окружность как помощник
Уравнение \(\sin x=a\) — это горизонтальная прямая на уровне \(a\): она пересекает единичную окружность в двух точках (в одной при \(a=\pm1\)). Уравнение \(\cos x=a\) — вертикальная прямая, тоже две точки (одна при \(a=\pm1\)). Каждой точке соответствует своя серия корней. Ту же окружность используют для отбора: отмечают на ней нужные серии и сравнивают с условием задачи.
Разобранные примеры
Пример 1
Решите уравнение 
В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решение
Решим уравнение:
Значению 
соответствует 
Значениям параметра меньше либо равным −2 соответствуют отрицательные значения корней, неотрицательным значениям параметра соответствуют большие значения корней. Следовательно, наименьшим положительным корнем является число 1.
Ответ: 1.
Пример 2
Решите уравнение 
В ответе напишите наименьший положительный корень.
Решение
Решим уравнение:
Заметим, что 
для всех значений параметра. Вычислим:
Отсюда наименьшее k = 2, чему соответствует корень x = 4.
Ответ: 4.
- «Тригонометрия. Теория», nitforyou.com, 2026
- «Тригонометрические уравнения», Большая российская энциклопедия (bigenc.ru)
- «Обратные тригонометрические функции», Википедия (ru.wikipedia.org)
- «Тригонометрические уравнения. Сборник задач для подготовки к ДВИ МГУ», mathus.ru
- «Преобразование выражений. Задание № 7 ЕГЭ», iro23.ru, 2024
- У1
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - У2
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - У3
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - У4
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - У5
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - У6
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - У7
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - У8
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - У9
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - У10
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - У11
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - У12
Найдите корни уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - У13
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - У14
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - У15
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - У16
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - У17
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - У18
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - У19
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - У20
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - У21
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - У22
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - У23
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - У24
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - У25
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень.
- Д1
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - Д2
Найдите корни уравнения:
В ответ запишите наибольший отрицательный корень. - Д3
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - Д4
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - Д5
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - Д6
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - Д7
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - Д8
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - Д9
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - Д10
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - Д11
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - Д12
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - Д13
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - Д14
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - Д15
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - Д16
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - Д17
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - Д18
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - Д19
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - Д20
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - Д21
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - Д22
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень. - Д23
Решите уравнение
В ответе напишите наибольший отрицательный корень. - Д24
Решите уравнение
В ответе напишите наименьший положительный корень. - Д25
Найдите корень уравнения:
В ответе запишите наибольший отрицательный корень.