8.1. Преобразования числовых рациональных выражений

1. Свойства действий

Эти законы позволяют менять порядок и группировать слагаемые и множители так, чтобы считать было удобнее.

Распределительный закон работает и «справа налево» — как вынесение общего множителя за скобки: \(11a^2-11a=11a(a-1)\).

2. Обыкновенные дроби

• Основное свойство дроби. Числитель и знаменатель можно одновременно умножить или разделить на одно и то же число (не нуль) — значение дроби не изменится: \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{ac}{bc}\). Деля на общий множитель, дробь сокращают.
• Сложение и вычитание. Складывать и вычитать можно только дроби с одинаковыми знаменателями: числители складывают (вычитают), знаменатель оставляют: \(\dfrac{a}{c}\pm\dfrac{b}{c}=\dfrac{a\pm b}{c}\). Если знаменатели разные, сначала находят наименьшее общее кратное знаменателей и подбирают дополнительные множители.
• Умножение. Числитель умножают на числитель, знаменатель — на знаменатель: \(\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{c}{d}=\dfrac{ac}{bd}\). Смешанные числа предварительно переводят в неправильные дроби.
• Деление. Делить на дробь — значит умножать на обратную: \(\dfrac{a}{b}:\dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{b}\cdot\dfrac{d}{c}\).

3. Десятичные дроби

• При сложении и вычитании записывают запятую под запятой.
• При умножении перемножают числа, не обращая внимания на запятые; в произведении отделяют справа столько знаков, сколько их было после запятой в обоих множителях вместе.
• При делении выражение записывают дробью и умножают числитель и знаменатель на \(10\), \(100\), \(1000\) и т. д., чтобы избавиться от запятых.
• Чтобы перемножить числа вроде \(1{,}23\cdot45{,}7\) и \(12{,}3\cdot0{,}457\), можно сначала домножить числитель и знаменатель на степень десяти, а затем сократить.

4. Пропорция

Если \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\), то \(ad=bc\) (основное свойство пропорции). Из этого равенства выражают любое нужное отношение или неизвестный член.

5. Формулы сокращённого умножения

В числовых выражениях эти формулы особенно полезны «справа налево». Например, \(13^3+3\cdot13^2\cdot7+3\cdot13\cdot7^2+7^3=(13+7)^3=20^3=8000\); а разность квадратов позволяет посчитать устно произведение вроде \(51\cdot49=(50+1)(50-1)=2500-1=2499\).

6. Как действовать в №8 с числовым рациональным выражением

1. Определите, какие действия и какие числа (обыкновенные дроби, десятичные дроби, смешанные числа) есть в выражении. Приведите числа к одному виду: смешанные числа — к неправильным дробям, а десятичные дроби — к обыкновенным или наоборот, как удобнее.
2. Ищите общие множители, формулы сокращённого умножения и возможность сократить дробь до того, как перемножать большие числа.
3. Раскрывайте скобки и приводите подобные слагаемые до подстановки чисел — так проще и надёжнее.
4. В конце проверьте знаки и арифметику.

Разобранные примеры