8.10. Преобразования числовых тригонометрических выражений

1. Базовые факты, без которых не обойтись

• Значения \(\sin\), \(\cos\), \(\operatorname{tg}\), \(\operatorname{ctg}\) для \(0\), \(\dfrac\pi6\), \(\dfrac\pi4\), \(\dfrac\pi3\), \(\dfrac\pi2\) (таблица).
• Знаки по четвертям, чётность: \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\), \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\).
• Периодичность: у \(\sin\) и \(\cos\) период \(2\pi\), у \(\operatorname{tg}\) и \(\operatorname{ctg}\) период \(\pi\).
• Основное тождество: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\); \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), \(\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1\); \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac1{\cos^2\alpha}\), \(1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\dfrac1{\sin^2\alpha}\).

2. Формулы приведения

Чтобы свести угол к острому, выделите из аргумента кратное \(\dfrac\pi2\). Если выделенная часть — нечётное число \(\dfrac\pi2\) (\(\dfrac\pi2\), \(\dfrac{3\pi}2\)), функция меняется на «сестру» (\(\sin\leftrightarrow\cos\), \(\operatorname{tg}\leftrightarrow\operatorname{ctg}\)); если это \(\pi\) или \(2\pi\), название сохраняется. Знак определяется исходной функцией в той четверти, где лежит исходный угол.

• \(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\), \(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\)
• \(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\), \(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\)
• \(\sin(2\pi\pm\alpha)=\pm\sin\alpha\), \(\cos(2\pi\pm\alpha)=\cos\alpha\)
• \(\sin\left(\dfrac\pi2\pm\alpha\right)=\cos\alpha\), \(\cos\left(\dfrac\pi2\pm\alpha\right)=\mp\sin\alpha\)

3. Формулы сложения

• \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
• \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
• \(\operatorname{tg}(\alpha\pm\beta)=\dfrac{\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta}{1\mp\operatorname{tg}\alpha\operatorname{tg}\beta}\)

4. Двойной угол, тройной угол, понижение степени

• \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\), отсюда \(\sin\alpha\cos\alpha=\tfrac12\sin2\alpha\)
• \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\)
• \(\operatorname{tg}2\alpha=\dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}\)
• \(\sin3\alpha=3\sin\alpha-4\sin^3\alpha\), \(\cos3\alpha=4\cos^3\alpha-3\cos\alpha\)
• Понижение степени: \(\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}{2}\), \(\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}{2}\)

5. Преобразование произведения в сумму и суммы в произведение

6. «Сокращённое умножение» в тригонометрии

• \((\sin x\pm\cos x)^2=1\pm\sin2x\)
• \(\cos^2x-\sin^2x=\cos2x\)
• \(\sin^3x\pm\cos^3x=(\sin x\pm\cos x)(1\mp\sin x\cos x)\)

7. Вспомогательный угол

• \(\sin\alpha\pm\cos\alpha=\sqrt2\sin\left(\alpha\pm\dfrac\pi4\right)\)
• \(\sqrt3\sin\alpha\pm\cos\alpha=2\sin\left(\alpha\pm\dfrac\pi6\right)\)
• \(\sin\alpha\pm\sqrt3\cos\alpha=2\sin\left(\alpha\pm\dfrac\pi3\right)\)

8. Как действовать в №8 с числовым тригонометрическим выражением

1. Приведите все аргументы к одному углу или к углам из таблицы (формулы приведения, сложения).
2. Если в выражении встречаются \(\sin\alpha\cos\alpha\), \(\cos^2\alpha-\sin^2\alpha\), \(2\sin^2\alpha\) — применяйте формулы двойного угла «справа налево».
3. Для нестандартных углов (например, \(15^\circ\), \(75^\circ\)) представьте их суммой или разностью табличных: \(75^\circ=45^\circ+30^\circ\).
4. Проверьте знаки функций в нужной четверти.
5. Подставьте табличные значения и упростите.

Разобранные примеры