8.11. Преобразования буквенных тригонометрических выражений

1. Тригонометрические тождества

Это основа любого преобразования с буквой. Выучите их так, чтобы узнавать «в обе стороны».

• \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\); отсюда \(1-\sin^2\alpha=\cos^2\alpha\), \(1-\cos^2\alpha=\sin^2\alpha\).
• \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), \(\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\), \(\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1\).
• \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\), \(1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}\).

Ограничения: \(\operatorname{tg}\alpha\) определён при \(\cos\alpha\ne0\), \(\operatorname{ctg}\alpha\) — при \(\sin\alpha\ne0\). Знаменатель дроби не может быть равен нулю.

2. Формулы приведения, чётность, периодичность

• \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\), \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\), \(\operatorname{tg}(-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha\).
• \(\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha\), \(\cos(90^\circ-\alpha)=\sin\alpha\), \(\operatorname{tg}(90^\circ-\alpha)=\operatorname{ctg}\alpha\).
• \(\sin(\pi-\alpha)=\sin\alpha\), \(\cos(\pi-\alpha)=-\cos\alpha\); \(\sin(\pi+\alpha)=-\sin\alpha\), \(\cos(\pi+\alpha)=-\cos\alpha\).
• \(\sin\left(\dfrac\pi2+\alpha\right)=\cos\alpha\), \(\cos\left(\dfrac\pi2+\alpha\right)=-\sin\alpha\).
• Период \(\sin\) и \(\cos\) — \(2\pi\), период \(\operatorname{tg}\) и \(\operatorname{ctg}\) — \(\pi\).

Правило: при нечётном числе \(\dfrac\pi2\) в аргументе функция меняется на «сестру» (\(\sin\leftrightarrow\cos\), \(\operatorname{tg}\leftrightarrow\operatorname{ctg}\)), при \(\pi\) и \(2\pi\) сохраняется. Знак берут от исходной функции в той четверти, где лежит исходный угол.

3. Формулы сложения и двойного угла

• \(\sin(\alpha\pm\beta)=\sin\alpha\cos\beta\pm\cos\alpha\sin\beta\)
• \(\cos(\alpha\pm\beta)=\cos\alpha\cos\beta\mp\sin\alpha\sin\beta\)
• \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
• \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\)
• \(\operatorname{tg}2\alpha=\dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}\)
• Понижение степени: \(\sin^2\alpha=\dfrac{1-\cos2\alpha}2\), \(\cos^2\alpha=\dfrac{1+\cos2\alpha}2\)

Полезные следствия: \(1-\cos2\alpha=2\sin^2\alpha\) и \(1+\cos2\alpha=2\cos^2\alpha\).

4. Суммы, разности, произведения

• \(\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}2\cos\dfrac{\alpha-\beta}2\)
• \(\sin\alpha-\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha-\beta}2\cos\dfrac{\alpha+\beta}2\)
• \(\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}2\cos\dfrac{\alpha-\beta}2\)
• \(\cos\alpha-\cos\beta=-2\sin\dfrac{\alpha+\beta}2\sin\dfrac{\alpha-\beta}2\)
• \(\operatorname{tg}\alpha\pm\operatorname{tg}\beta=\dfrac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos\alpha\cos\beta}\)
• \(\sin\alpha\cos\beta=\tfrac12\left[\sin(\alpha-\beta)+\sin(\alpha+\beta)\right]\), \(\cos\alpha\cos\beta=\tfrac12\left[\cos(\alpha-\beta)+\cos(\alpha+\beta)\right]\), \(\sin\alpha\sin\beta=\tfrac12\left[\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)\right]\)

5. Формулы сокращённого умножения для \(\sin\) и \(\cos\)

• \(\cos^2x-\sin^2x=(\cos x-\sin x)(\cos x+\sin x)=\cos2x\)
• \((\sin x\pm\cos x)^2=1\pm\sin2x\)
• \(\sin^3x\pm\cos^3x=(\sin x\pm\cos x)(1\mp\sin x\cos x)\)
• \(\sin\alpha\pm\cos\alpha=\sqrt2\sin\left(\alpha\pm\dfrac\pi4\right)\)

6. План упрощения буквенного тригонометрического выражения

1. Определите, какие функции и какие аргументы есть в выражении (\(\alpha\), \(2\alpha\), \(\dfrac\pi2-\alpha\) и т. д.).
2. Приведите аргументы к одному углу: формулами приведения, двойного угла, суммы.
3. Если выражение с \(2\alpha\), выберите вид формулы для \(\cos2\alpha\), в котором останется нужная функция (\(1-2\sin^2\alpha\), если дан \(\sin\alpha\); \(2\cos^2\alpha-1\), если дан \(\cos\alpha\)).
4. Замените \(\operatorname{tg}\) и \(\operatorname{ctg}\) на \(\dfrac{\sin}{\cos}\) и \(\dfrac{\cos}{\sin}\), приведите дроби к общему знаменателю.
5. Ищите основное тождество и формулы сокращённого умножения: \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\), разность квадратов и т. д.
6. Сократите дробь и только потом подставьте заданное значение (если оно есть); проверьте знаки по четверти.

Разобранные примеры