8.2. Преобразования алгебраических выражений и дробей

1. Формулы сокращённого умножения

Квадрат суммы нескольких слагаемых равен сумме их квадратов плюс удвоенные попарные произведения: \((a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\).

Эти формулы применяют в обе стороны: слева направо — чтобы раскрыть скобки, справа налево — чтобы разложить выражение на множители и сократить дробь.

2. Разложение на множители

• Вынесение общего множителя: \(ax+ay=a(x+y)\); например, \(11a^2-11a=11a(a-1)\).
• Группировка: \(ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y)\).
• Формулы сокращённого умножения справа налево (раздел 1).
• Квадратный трёхчлен: \(ax^2+bx+c=a(x-x_1)(x-x_2)\), где \(x_1\), \(x_2\) — корни уравнения \(ax^2+bx+c=0\).

Если \(a+b+c=0\), то один из корней квадратного уравнения \(ax^2+bx+c=0\) равен \(1\), второй равен \(\dfrac{c}{a}\). Если \(a-b+c=0\), то корни равны \(-1\) и \(-\dfrac{c}{a}\).

3. Алгебраические дроби

Алгебраическая дробь — это дробь, в числителе и знаменателе которой стоят выражения с переменными. Все действия с ними выполняются по тем же правилам, что и с числовыми дробями.

4. Допустимые значения

Знаменатель дроби не может быть равен нулю. Поэтому, прежде чем сокращать, определите, при каких значениях переменной выражение имеет смысл, и не теряйте эти ограничения в ходе преобразований. Сократить можно только общий множитель, но не слагаемое: \(\dfrac{a(x+1)}{b(x+1)}=\dfrac ab\), а вот \(\dfrac{a+x}{b+x}\) сократить нельзя.

5. Выделение целой части дроби

Если старшая степень числителя не меньше старшей степени знаменателя, можно разделить числитель на знаменатель и выделить целую часть. Например, \(\dfrac{x+3}{x+1}=\dfrac{(x+1)+2}{x+1}=1+\dfrac{2}{x+1}\).

6. План действий в №8 с алгебраическим выражением

1. Определите тип выражения и вспомните подходящие формулы.
2. Упрощайте выражение до подстановки значения переменной, особенно если в нём есть дроби, корни и степени.
3. Разложите числители и знаменатели на множители: ищите общий множитель, формулы сокращённого умножения.
4. Сократите дроби, приведите подобные слагаемые, при необходимости приведите дроби к общему знаменателю.
5. Подставьте значение переменной в упрощённое выражение. В конце перепроверьте знаки и арифметику.

Разобранные примеры