8.3. Вычисление значений степенных выражений

1. Что такое степень

Выражение \(a^n\) с натуральным \(n\) означает произведение \(n\) множителей, каждый из которых равен \(a\); \(a\) — основание, \(n\) — показатель. По определению \(a^1=a\).

Частные случаи: \(a^{\frac12}=\sqrt{a}\), \(a^{\frac13}=\sqrt[3]{a}\), \(a^{-\frac mn}=\dfrac{1}{a^{\frac mn}}\). Выражения \(0^0\) и \(0^{-n}\) не определены.

2. Свойства степеней

Для положительных \(a\), \(b\) и любых действительных показателей \(x\), \(y\):

Для целых показателей эти равенства верны и при отрицательных основаниях (если знаменатели не обращаются в нуль). Дробные показатели вводят только для положительного основания.

3. Таблица степеней, которую стоит знать

Квадраты чисел от \(1\) до \(20\) тоже полезно помнить наизусть.

4. Как вычислять значение степенного выражения

1. Приведите основания к одному числу или разложите их на простые множители: \(8=2^3\), \(27=3^3\), \(49=7^2\), \(45=5\cdot9\).
2. Корни и дроби запишите в виде степеней с дробными или отрицательными показателями.
3. Примените свойства степеней: показатели при умножении складывают, при делении вычитают, при возведении в степень перемножают.
4. Сложите и вычтите показатели как обычные дроби, приведя их к общему знаменателю.
5. Вычислите итоговую степень по таблице.

Степень с отрицательным показателем вычисляют через обратную величину: сначала переворачивают дробь, затем возводят в степень. Например, \(\left(\dfrac{27}{64}\right)^{-\frac23}=\left(\dfrac{64}{27}\right)^{\frac23}=\left(\sqrt[3]{\dfrac{64}{27}}\right)^2=\left(\dfrac43\right)^2=\dfrac{16}{9}\).

Десятичные дроби при вычислениях часто удобнее записать обыкновенными или как степень: \(0{,}5=2^{-1}\), \(0{,}25=2^{-2}\), \(0{,}2=\dfrac15=5^{-1}\).

Разобранные примеры