Задание 8 · Вычисления и преобразования
8.4. Действия со степенями
Для репетитора: показать ответы
1. Определения и условия
| Выражение | Определение | Условия |
|---|---|---|
| \(a^n\) | произведение \(n\) множителей, равных \(a\) | \(n\in\mathbb{N}\); \(a^1=a\) |
| \(a^0\) | \(1\) | \(a\ne0\) |
| \(a^{-n}\) | \(\dfrac{1}{a^n}\) | \(a\ne0\) |
| \(a^{\frac mn}\) | \(\sqrt[n]{a^m}\) | \(a>0\), \(m\in\mathbb{Z}\), \(n\in\mathbb{N}\) |
| \(a^{-\frac mn}\) | \(\dfrac{1}{a^{\frac mn}}\) | \(a>0\) |
Корень \(\sqrt[n]{a}\): при чётном \(n\) он существует только для \(a\ge0\) и сам неотрицателен; при нечётном \(n\) определён для любого \(a\). Связь корней и степеней: \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}\).
2. Свойства степеней
Пусть \(a>0\), \(b>0\), а \(p\) и \(q\) — любые числа (в том числе дробные и отрицательные).
| № | Свойство |
|---|---|
| 1 | \(a^p\cdot a^q=a^{p+q}\) |
| 2 | \(\dfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\) |
| 3 | \((a^p)^q=a^{pq}\) |
| 4 | \(a^p\cdot b^p=(ab)^p\) |
| 5 | \(\dfrac{a^p}{b^p}=\left(\dfrac ab\right)^p\) |
| 6 | \(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}\), \(\left(\dfrac ab\right)^{-p}=\left(\dfrac ba\right)^p\) |
Эти формулы можно доказать, и для задач по теме «Корни и степени» их достаточно.
3. Как преобразовывать степенные выражения с буквами
- Запишите все корни в виде степеней с рациональными показателями: \(\sqrt{a}=a^{\frac12}\), \(\sqrt[3]{a}=a^{\frac13}\), \(\dfrac{1}{\sqrt[5]{a^2}}=a^{-\frac25}\).
- Свойства степеней применяйте по отдельности к числителю и знаменателю сложной дроби.
- Сложите и вычтите показатели как обычные дроби (приведите их к общему знаменателю) и упростите итоговый показатель.
- Если надо, вернитесь от степеней к корням.
- Прежде чем упрощать, проверьте, какие значения переменных допустимы: основание должно быть положительным там, где показатель дробный; знаменатель не должен быть равен нулю.
Формулы сокращённого умножения работают и для степеней. Например, \(a-b=(a^{\frac12}-b^{\frac12})(a^{\frac12}+b^{\frac12})\) при \(a,b\ge0\); \(a^{2x}-b^{2x}=(a^x-b^x)(a^x+b^x)\); \((a^x+a^{-x})^2=a^{2x}+2+a^{-2x}\).
Если по смыслу задачи основание может быть отрицательным, следите за знаком: например, \(\sqrt{a^2}=|a|\), а не \(a\).
4. Подстановка значения
Когда в условии задано значение переменной, сначала упростите выражение, а затем подставляйте число. Это особенно важно, если в выражении есть корни и степени. Если значение переменной отрицательное, следите за знаком итогового результата.
- Считать выражения \(0^0\) и \(0^{-n}\) осмысленными: они не определены.
- Брать корень чётной степени из отрицательного числа: такого корня нет.
- Использовать отрицательное основание с дробным показателем. Из равенств \(\sqrt[3]{-8}=-2\) и \((-8)^{\frac13}=(-8)^{\frac26}=\sqrt[6]{64}=2\) получилось бы, что одно число равно и \(-2\), и \(2\). Поэтому для дробных степеней основание берут положительным.
Разобранные примеры
Пример 1
Найдите значение выражения при
Решение
Выполним преобразования:
Ответ: 8.
Пример 2
Найдите значение выражения при
Решение
Выполним преобразования:
Ответ: 0,0001.
Пример 3
Найдите значение выражения при
Решение
Выполним преобразования:
Ответ: 2,5.
- И. В. Яковлев, «Степени и корни», материалы по математике, mathus.ru
- «Степень с дробным показателем», Рязанский государственный радиотехнический университет (rsreu.ru)
- «Преобразование выражений. Задание № 7 ЕГЭ», iro23.ru, 2024
- «Теория к заданиям 6–8» (дроби, формулы сокращённого умножения, степени, корни), shkolkovo.online
- У1
Найдите значение выражения
- У2
Найдите значение выражения
- У3
Найдите значение выражения
- У4
Найдите значение выражения
- У5
Найдите значение выражения
при
- У6
Найдите значение выражения
при
- У7
Найдите значение выражения
при
- У8
Найдите значение выражения
при
- У9
Найдите значение выражения
при
- У10
Найдите значение выражения
при
- У11
Найдите значение выражения
при b = 7.
- У12
Найдите значение выражения
при
- У13
Найдите значение выражения
при
- У14
Найдите значение выражения
- У15
Найдите значение выражения
- У16
Найдите значение выражения
- У17
Найдите значение выражения
при
- У18
Найдите значение выражения
при
- У19
Найдите значение выражения
при
- У20
Найдите значение выражения
при
- У21
Найдите значение выражения:
при
- У22
Найдите значение выражения
при
- У23
Найдите значение выражения
при
- У24
Найдите значение выражения
при
- У25
Найдите значение выражения
при
- У26
Найдите значение выражения
при
- У27
Найдите значение выражения
при
- У28
Найдите значение выражения
- У29
Найдите значение выражения
- У30
Найдите значение выражения
при
- Д1
Найдите значение выражения
- Д2
Найдите значение выражения
- Д3
Найдите значение выражения
- Д4
Найдите значение выражения
при
- Д5
Найдите значение выражения
при
- Д6
Найдите значение выражения
при
- Д7
Найдите значение выражения
при
- Д8
Найдите значение выражения
при
- Д9
Найдите значение выражения
при
- Д10
Найдите значение выражения
при
- Д11
Найдите значение выражения
если
- Д12
Найдите значение выражения
при
- Д13
Найдите значение выражения
при
- Д14
Найдите значение выражения
- Д15
Найдите значение выражения
- Д16
Найдите значение выражения
- Д17
Найдите значение выражения
при
- Д18
Найдите значение выражения
при
- Д19
Найдите значение выражения
при
- Д20
Найдите значение выражения
при
- Д21
Найдите значение выражения
при
- Д22
Найдите значение выражения
при
- Д23
Найдите значение выражения
при
- Д24
Найдите значение выражения
если
- Д25
Найдите значение выражения
при
- Д26
Найдите значение выражения
при
- Д27
Найдите значение выражения
- Д28
Найдите значение выражения
- Д29
Найдите значение выражения
- Д30
Найдите значение выражения
при