‹ База знаний

Задание 8 · Вычисления и преобразования

8.4. Действия со степенями

Для репетитора: показать ответы

1. Определения и условия

ВыражениеОпределениеУсловия
\(a^n\)произведение \(n\) множителей, равных \(a\)\(n\in\mathbb{N}\); \(a^1=a\)
\(a^0\)\(1\)\(a\ne0\)
\(a^{-n}\)\(\dfrac{1}{a^n}\)\(a\ne0\)
\(a^{\frac mn}\)\(\sqrt[n]{a^m}\)\(a>0\), \(m\in\mathbb{Z}\), \(n\in\mathbb{N}\)
\(a^{-\frac mn}\)\(\dfrac{1}{a^{\frac mn}}\)\(a>0\)

Корень \(\sqrt[n]{a}\): при чётном \(n\) он существует только для \(a\ge0\) и сам неотрицателен; при нечётном \(n\) определён для любого \(a\). Связь корней и степеней: \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}\).

2. Свойства степеней

Пусть \(a>0\), \(b>0\), а \(p\) и \(q\) — любые числа (в том числе дробные и отрицательные).

№Свойство
1\(a^p\cdot a^q=a^{p+q}\)
2\(\dfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\)
3\((a^p)^q=a^{pq}\)
4\(a^p\cdot b^p=(ab)^p\)
5\(\dfrac{a^p}{b^p}=\left(\dfrac ab\right)^p\)
6\(a^{-p}=\dfrac{1}{a^p}\), \(\left(\dfrac ab\right)^{-p}=\left(\dfrac ba\right)^p\)

Эти формулы можно доказать, и для задач по теме «Корни и степени» их достаточно.

3. Как преобразовывать степенные выражения с буквами

  1. Запишите все корни в виде степеней с рациональными показателями: \(\sqrt{a}=a^{\frac12}\), \(\sqrt[3]{a}=a^{\frac13}\), \(\dfrac{1}{\sqrt[5]{a^2}}=a^{-\frac25}\).
  2. Свойства степеней применяйте по отдельности к числителю и знаменателю сложной дроби.
  3. Сложите и вычтите показатели как обычные дроби (приведите их к общему знаменателю) и упростите итоговый показатель.
  4. Если надо, вернитесь от степеней к корням.
  5. Прежде чем упрощать, проверьте, какие значения переменных допустимы: основание должно быть положительным там, где показатель дробный; знаменатель не должен быть равен нулю.

Формулы сокращённого умножения работают и для степеней. Например, \(a-b=(a^{\frac12}-b^{\frac12})(a^{\frac12}+b^{\frac12})\) при \(a,b\ge0\); \(a^{2x}-b^{2x}=(a^x-b^x)(a^x+b^x)\); \((a^x+a^{-x})^2=a^{2x}+2+a^{-2x}\).

Если по смыслу задачи основание может быть отрицательным, следите за знаком: например, \(\sqrt{a^2}=|a|\), а не \(a\).

4. Подстановка значения

Когда в условии задано значение переменной, сначала упростите выражение, а затем подставляйте число. Это особенно важно, если в выражении есть корни и степени. Если значение переменной отрицательное, следите за знаком итогового результата.

Лайфхак 1. Корни — в степени. Для выражений с корнями разных порядков перейдите к дробным показателям: произведение и частное корней превращаются в сложение и вычитание обычных дробей.
Лайфхак 2. Основание — в виде степени. Приведите числа к одному виду, например \(49=7^2\) и \(\sqrt[3]{7}=7^{\frac13}\), а затем складывайте показатели.
Лайфхак 3. Свойства — отдельно для числителя и знаменателя. Для сложных дробей применяйте свойства по очереди к каждой части, не пытаясь «сворачивать» всё сразу.
Лайфхак 4. Упрощайте до подстановки. Раскройте скобки, приведите подобные слагаемые и лишь потом подставьте число: так меньше шансов ошибиться в арифметике.
Частые ошибки.
  • Считать выражения \(0^0\) и \(0^{-n}\) осмысленными: они не определены.
  • Брать корень чётной степени из отрицательного числа: такого корня нет.
  • Использовать отрицательное основание с дробным показателем. Из равенств \(\sqrt[3]{-8}=-2\) и \((-8)^{\frac13}=(-8)^{\frac26}=\sqrt[6]{64}=2\) получилось бы, что одно число равно и \(-2\), и \(2\). Поэтому для дробных степеней основание берут положительным.

Разобранные примеры

Пример 1

Найдите значение выражения  левая круглая скобка 2b правая круглая скобка в кубе : b в степени 6 умножить на b в кубе при  b = 16.

Решение

Выполним преобразования:

 левая круглая скобка 2b правая круглая скобка в кубе : b в степени 6 умножить на b в кубе = 8 умножить на b в кубе : b в степени 6 умножить на b в кубе = 8 b в степени левая круглая скобка 3 минус 6 плюс 3 правая круглая скобка = 8 умножить на b в степени 0 = 8.

Ответ: 8.

Пример 2

Найдите значение выражения b в степени 5 :b в степени 9 умножить на b в степени 6 при b=0,01.

Решение

Выполним преобразования:

b в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка :b в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка умножить на b в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка =b в степени левая круглая скобка 5 минус 9 плюс 6 правая круглая скобка =b в квадрате =0,0001.

Ответ: 0,0001.

Пример 3

Найдите значение выражения  дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 7,4 правая круглая скобка , знаменатель: a в степени левая круглая скобка 8,4 правая круглая скобка конец дроби при a=0,4.

Решение

Выполним преобразования:

 дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 7,4 правая круглая скобка , знаменатель: a в степени левая круглая скобка 8,4 правая круглая скобка конец дроби =a в степени левая круглая скобка минус 1 правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 0,4 конец дроби =2,5.

Ответ: 2,5.

Источники
  • И. В. Яковлев, «Степени и корни», материалы по математике, mathus.ru
  • «Степень с дробным показателем», Рязанский государственный радиотехнический университет (rsreu.ru)
  • «Преобразование выражений. Задание № 7 ЕГЭ», iro23.ru, 2024
  • «Теория к заданиям 6–8» (дроби, формулы сокращённого умножения, степени, корни), shkolkovo.online
  1. У1

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: 7 левая круглая скобка m в степени 5 правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 11 левая круглая скобка m в кубе правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 3m в степени левая круглая скобка 15 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате конец дроби .

  2. У2

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 3, знаменатель: b правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка 2a правая круглая скобка в квадрате b в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 18, знаменатель: ab в кубе конец дроби .

  3. У3

    Найдите значение выражения  18x в степени 7 умножить на x в степени левая круглая скобка 13 правая круглая скобка : левая круглая скобка 3x в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате .

  4. У4

    Найдите значение выражения  левая круглая скобка 4a правая круглая скобка в кубе :a в степени 7 умножить на a в степени 4 .

  5. У5

    Найдите значение выражения a в степени левая круглая скобка 0,65 правая круглая скобка умножить на a в степени левая круглая скобка 0,67 правая круглая скобка умножить на a в степени левая круглая скобка 0,68 правая круглая скобка при a=11.

  6. У6

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: левая круглая скобка корень 3 степени из: начало аргумента: 7a в квадрате конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка , знаменатель: a в степени 4 конец дроби при a не равно 0.

  7. У7

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: левая круглая скобка 9b правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1,5 правая круглая скобка умножить на b в степени левая круглая скобка 2,7 правая круглая скобка , знаменатель: b в степени левая круглая скобка 4,2 правая круглая скобка конец дроби при b больше 0.

  8. У8

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: n в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: n в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка умножить на n в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка конец дроби при n=64.

  9. У9

    Найдите значение выражения  левая круглая скобка 4b правая круглая скобка в кубе :b в степени 9 умножить на b в степени 5 при b=128.

  10. У10

    Найдите значение выражения 6x умножить на левая круглая скобка 3x в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка правая круглая скобка в кубе : левая круглая скобка 3x в степени 9 правая круглая скобка в степени 4 при x=75.

  11. У11

    Найдите значение выражения  b в степени левая круглая скобка \tfrac15 правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка b в степени левая круглая скобка \tfrac9 правая круглая скобка 10 правая круглая скобка в квадрате при b  =  7.

  12. У12

    Найдите значение выражения 7 в степени левая круглая скобка 2x минус 1 правая круглая скобка :49 в степени x :x при x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 14 конец дроби .

  13. У13

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: b в степени левая круглая скобка 3 корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка b в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка в кубе конец дроби при  b = 6.

  14. У14

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: 21 левая круглая скобка m в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 3 левая круглая скобка m в кубе правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 4m в степени левая круглая скобка 15 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате конец дроби .

  15. У15

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка минус 1, знаменатель: b правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка 6a правая круглая скобка в квадрате b в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 36, знаменатель: a в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка b в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка конец дроби .

  16. У16

    Найдите значение выражения  левая круглая скобка 3x в степени 4 правая круглая скобка в квадрате : левая круглая скобка 3x в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка правая круглая скобка .

  17. У17

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 8,58 правая круглая скобка , знаменатель: a в степени левая круглая скобка 3,85 правая круглая скобка умножить на a в степени левая круглая скобка 4,73 правая круглая скобка конец дроби  при a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 11 конец дроби .

  18. У18

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: 2n в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: n в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка умножить на n в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка конец дроби  при n больше 0.

  19. У19

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: левая круглая скобка 4a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 3,5 правая круглая скобка , знаменатель: a в кубе корень из: начало аргумента: a конец аргумента конец дроби  при a больше 0.

  20. У20

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 2 конец аргумента a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 14 правая круглая скобка корень 5 степени из: начало аргумента: a в степени левая круглая скобка 5 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: a в степени левая круглая скобка 15 правая круглая скобка конец дроби  при a больше 0.

  21. У21

    Найдите значение выражения:  дробь: числитель: x умножить на x в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка , знаменатель: x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка конец дроби при x=6.

  22. У22

    Найдите значение выражения  левая круглая скобка 9b правая круглая скобка в кубе :b в степени 7 умножить на b в кубе при b=81.

  23. У23

    Найдите значение выражения 5x умножить на левая круглая скобка 5x в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате : левая круглая скобка 5x в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка при x=65.

  24. У24

    Найдите значение выражения b в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 5, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка умножить на левая круглая скобка b в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 2, знаменатель: 9 конец дроби правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате при b=6.

  25. У25

    Найдите значение выражения 4 в степени левая круглая скобка 3x плюс 2 правая круглая скобка :64 в степени x :x при x= дробь: числитель: 1, знаменатель: 7 конец дроби .

  26. У26

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: корень 3 степени из: начало аргумента: a конец аргумента корень 4 степени из: начало аргумента: a конец аргумента , знаменатель: a корень 12 степени из: начало аргумента: a конец аргумента конец дроби при a=6,25.

  27. У27

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: левая круглая скобка b в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 7 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: b в степени левая круглая скобка 18 правая круглая скобка конец дроби при b=0,5.

  28. У28

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: левая круглая скобка 5x правая круглая скобка в кубе умножить на x в квадрате , знаменатель: x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на 2x конец дроби .

  29. У29

    Найдите значение выражения 81x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка умножить на x в степени левая круглая скобка 17 правая круглая скобка : левая круглая скобка 3x в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка правая круглая скобка в кубе .

  30. У30

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 6,21 правая круглая скобка , знаменатель: a в степени левая круглая скобка 2,78 правая круглая скобка умножить на a в степени левая круглая скобка 3,43 правая круглая скобка конец дроби  при a= дробь: числитель: 10, знаменатель: 11 конец дроби .

  1. Д1

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: левая круглая скобка 3x правая круглая скобка в кубе умножить на x в степени левая круглая скобка минус 9 правая круглая скобка , знаменатель: x в степени левая круглая скобка минус 10 правая круглая скобка умножить на 2x в степени 4 конец дроби .

  2. Д2

    Найдите значение выражения  левая круглая скобка левая круглая скобка 2x в кубе правая круглая скобка в степени 8 минус левая круглая скобка x в квадрате правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 12 правая круглая скобка правая круглая скобка :17x в степени левая круглая скобка 24 правая круглая скобка .

  3. Д3

    Найдите значение выражения  левая круглая скобка 7x в кубе правая круглая скобка в квадрате : левая круглая скобка 7x в степени 6 правая круглая скобка .

  4. Д4

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 3,33 правая круглая скобка , знаменатель: a в степени левая круглая скобка 2,11 правая круглая скобка умножить на a в степени левая круглая скобка 2,22 правая круглая скобка конец дроби при a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби .

  5. Д5

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: 6n в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: n в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 12 конец дроби правая круглая скобка умножить на n в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби правая круглая скобка конец дроби при n больше 0.

  6. Д6

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: левая круглая скобка 4a правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2,5 правая круглая скобка , знаменатель: a в квадрате корень из: начало аргумента: a конец аргумента конец дроби при a больше 0.

  7. Д7

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента a правая круглая скобка в квадрате корень 5 степени из: начало аргумента: a в кубе конец аргумента , знаменатель: a в степени левая круглая скобка 2,6 правая круглая скобка конец дроби  при a больше 0.

  8. Д8

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: x в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка умножить на x в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка , знаменатель: x в степени левая круглая скобка правая круглая скобка конец дроби при x=4.

  9. Д9

    Найдите значение выражения x умножить на 3 в степени левая круглая скобка 2x плюс 1 правая круглая скобка умножить на 9 в степени левая круглая скобка минус x правая круглая скобка при x=5.

  10. Д10

    Найдите значение выражения  левая круглая скобка 2a в кубе правая круглая скобка в степени 4 : левая круглая скобка 2a в степени левая круглая скобка 11 правая круглая скобка правая круглая скобка при a=11.

  11. Д11

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: g левая круглая скобка x минус 9 правая круглая скобка , знаменатель: g левая круглая скобка x минус 11 правая круглая скобка конец дроби , если g левая круглая скобка x правая круглая скобка =8 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка .

  12. Д12

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: корень 9 степени из: начало аргумента: a конец аргумента корень 18 степени из: начало аргумента: a конец аргумента , знаменатель: a корень 6 степени из: начало аргумента: a конец аргумента конец дроби при a=1,25.

  13. Д13

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: левая круглая скобка b в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 2 корень из: начало аргумента: 3 конец аргумента правая круглая скобка , знаменатель: b в степени 4 конец дроби при b=5.

  14. Д14

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: левая круглая скобка 2x правая круглая скобка в квадрате умножить на x в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка , знаменатель: x в степени левая круглая скобка минус 6 правая круглая скобка умножить на 2x в кубе конец дроби .

  15. Д15

    Найдите значение выражения 32x в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка умножить на x в степени левая круглая скобка 14 правая круглая скобка : левая круглая скобка 2x в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка .

  16. Д16

    Найдите значение выражения  левая круглая скобка 6a правая круглая скобка в квадрате :a в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка умножить на a в степени 5 .

  17. Д17

    Найдите значение выражения a в степени левая круглая скобка 1,72 правая круглая скобка умножить на a в степени левая круглая скобка 0,04 правая круглая скобка умножить на a в степени левая круглая скобка 0,24 правая круглая скобка  при a=14.

  18. Д18

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 5a в квадрате конец аргумента правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка , знаменатель: a в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка конец дроби  при a не равно 0.

  19. Д19

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: левая круглая скобка 196b правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 1,5 правая круглая скобка умножить на b в степени левая круглая скобка 1,9 правая круглая скобка , знаменатель: b в степени левая круглая скобка 3,4 правая круглая скобка конец дроби  при b больше 0.

  20. Д20

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: n в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 7, знаменатель: 10 конец дроби правая круглая скобка , знаменатель: n в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби правая круглая скобка умножить на n в степени левая круглая скобка дробь: числитель: 1, знаменатель: 30 конец дроби правая круглая скобка конец дроби  при n=81.

  21. Д21

    Найдите значение выражения b в степени 7 :b в степени 5 умножить на b в степени 4 при b=4.

  22. Д22

    Найдите значение выражения x умножить на 2 в степени левая круглая скобка минус 4x минус 2 правая круглая скобка умножить на 4 в степени левая круглая скобка 2x правая круглая скобка при x=3.

  23. Д23

    Найдите значение выражения  левая круглая скобка 2a в квадрате правая круглая скобка в кубе : левая круглая скобка 2a в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка правая круглая скобка при a=2.

  24. Д24

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: g левая круглая скобка x плюс 2 правая круглая скобка , знаменатель: g левая круглая скобка x плюс 4 правая круглая скобка конец дроби , если g левая круглая скобка x правая круглая скобка =10 в степени левая круглая скобка x правая круглая скобка .

  25. Д25

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 8,9 правая круглая скобка , знаменатель: a в степени левая круглая скобка 4,9 правая круглая скобка конец дроби при a=4.

  26. Д26

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: b в степени левая круглая скобка 5 корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента плюс 1 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка b в степени левая круглая скобка корень из: начало аргумента: 8 конец аргумента правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка конец дроби при b=2.

  27. Д27

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: 3 левая круглая скобка m в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка плюс 5 левая круглая скобка m в кубе правая круглая скобка в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка , знаменатель: левая круглая скобка 2m в степени левая круглая скобка 15 правая круглая скобка правая круглая скобка в квадрате конец дроби .

  28. Д28

    Найдите значение выражения  дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка минус 1, знаменатель: b правая круглая скобка в степени левая круглая скобка минус 5 правая круглая скобка конец дроби левая круглая скобка 2a правая круглая скобка в квадрате b в степени левая круглая скобка минус 2 правая круглая скобка умножить на дробь: числитель: 3, знаменатель: a в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка b в степени левая круглая скобка минус 3 правая круглая скобка конец дроби .

  29. Д29

    Найдите значение выражения  левая круглая скобка 2a правая круглая скобка в кубе :a в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка умножить на a в квадрате .

  30. Д30

    Найдите значение выражения a в степени левая круглая скобка 0,97 правая круглая скобка умножить на a в степени левая круглая скобка 0,74 правая круглая скобка умножить на a в степени левая круглая скобка 0,29 правая круглая скобка  при a=19.