8.5. Преобразования числовых иррациональных выражений

1. Квадратный корень: определение и главные формулы

Арифметический квадратный корень из числа \(a\ge0\) — это неотрицательное число \(b\), квадрат которого равен \(a\): \(\sqrt a=b\), \(b\ge0\), \(b^2=a\). Корень из отрицательного числа не существует: выражения \(\sqrt{-25}\), \(\sqrt{-4}\) не имеют смысла.

Сумма и разность корней не равны корню из суммы или разности: \(\sqrt a\pm\sqrt b\ne\sqrt{a\pm b}\). Корни можно складывать, только если они «подобны»: \(\sqrt2+3\sqrt2=4\sqrt2\), \(\sqrt a+\sqrt a=2\sqrt a\). Если корень не извлекается, выражение так и оставляют, например \(\sqrt2+7\).

2. Корень \(n\)-й степени

• При чётном \(n\) корень \(\sqrt[n]{a}\) существует только при \(a\ge0\) и неотрицателен: \(\sqrt[4]{10000}=10\), \(\sqrt[6]{64}=2\).
• При нечётном \(n\) корень существует для любого \(a\) и единствен: \(\sqrt[3]{-8}=-2\), \(\sqrt[5]{-243}=-3\).
• Связь со степенью: \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}\) при \(a>0\). Переход к дробным показателям позволяет упрощать выражения с корнями разных порядков: \(\dfrac{\sqrt[9]7\cdot\sqrt[18]7}{\sqrt[6]7}=7^{\frac19+\frac1{18}-\frac16}=7^0=1\).

3. Приёмы преобразования числовых иррациональных выражений

Вынесение множителя из-под корня и внесение под корень

Разложите подкоренное число на множители, один из которых — точный квадрат: \(\sqrt{4410}=\sqrt{441\cdot10}=21\sqrt{10}\); \(\sqrt{32}\cdot\sqrt2=\sqrt{64}=8\); \(\sqrt{768}:\sqrt3=\sqrt{256}=16\).

Избавление от иррациональности в знаменателе

Примеры: \(\dfrac{6}{\sqrt3}=\dfrac{6\sqrt3}{3}=2\sqrt3\); \(\dfrac{3}{\sqrt2-1}=\dfrac{3(\sqrt2+1)}{2-1}=3\sqrt2+3\).

Выделение полного квадрата под корнем

Выражение вида \(\sqrt{a+b\sqrt c}\) упрощают, если подкоренное число удаётся представить в виде \((\sqrt x+\sqrt y)^2\). Для этого используют формулу \((\sqrt x\pm\sqrt y)^2=x+y\pm2\sqrt{xy}\) и подбирают числа \(x\) и \(y\), у которых сумма равна \(a\), а удвоенный корень из произведения равен \(b\sqrt c\). Например, \(7+4\sqrt3=(2+\sqrt3)^2\), поэтому \(\sqrt{7+4\sqrt3}=2+\sqrt3\). Не забывайте, что \(\sqrt{t^2}=|t|\): при раскрытии знак нужно проверять.

Сравнение и оценка корней

• Если \(\sqrt a<\sqrt b\), то \(a
• Оценка целыми числами: если \(49<50<64\), то \(7<\sqrt{50}<8\).
• Возводить обе части неравенства в квадрат можно, только если обе они неотрицательны.
• Приближённые значения: \(\sqrt2\approx1{,}4\), \(\sqrt3\approx1{,}7\).

4. Порядок действий в №8 с числовым иррациональным выражением

1. Извлеките все корни, которые извлекаются, и вынесите множители из-под остальных.
2. Приведите подобные слагаемые (с одинаковыми корнями).
3. Избавьтесь от иррациональности в знаменателях, умножая на сопряжённое.
4. Используйте формулы сокращённого умножения, в том числе разность квадратов с корнями.
5. Следите за знаком результата и за областью допустимых значений.

Разобранные примеры