8.6. Преобразования буквенных иррациональных выражений

1. Что нужно помнить о корнях с буквами

В задачах с буквенными выражениями почти всё решает область допустимых значений (ОДЗ) и знак подкоренного выражения. Корень чётной степени существует только для неотрицательного подкоренного выражения, а результат его неотрицателен. Корень нечётной степени существует для любого числа.

Особенно внимательно относитесь к знаку: \(\sqrt{a^2}\) равен \(a\) только при \(a\ge0\); при \(a<0\) он равен \(-a\). Поэтому «просто сократить корень со степенью» нельзя — сначала посмотрите, какой знак имеет переменная.

2. Корни \(n\)-й степени и действия с ними

• \(\sqrt[n]{a}\cdot\sqrt[n]{b}=\sqrt[n]{ab}\), \(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}}=\sqrt[n]{\dfrac ab}\) (для чётного \(n\) — при неотрицательных подкоренных выражениях).
• Преобразование к степени: \(\sqrt[n]{a^m}=a^{\frac mn}\). После этого действуют обычные свойства степеней: \(a^p\cdot a^q=a^{p+q}\), \(\dfrac{a^p}{a^q}=a^{p-q}\), \((a^p)^q=a^{pq}\), \((ab)^p=a^pb^p\).
• Корни разных порядков одного и того же основания проще складывать и умножать, если записать их степенями с дробными показателями и привести показатели к общему знаменателю.

3. Формулы сокращённого умножения для выражений с корнями

Используйте их слева направо, чтобы раскрыть скобки, и справа налево — чтобы разложить числитель или знаменатель на множители и сократить дробь.

4. Освобождение от иррациональности в знаменателе

• \(\dfrac{x}{\sqrt y}=\dfrac{x\sqrt y}{y}\) — числитель и знаменатель умножают на \(\sqrt y\).
• \(\dfrac{1}{\sqrt a+b}=\dfrac{\sqrt a-b}{a-b^2}\) — умножают на сопряжённое выражение \(\sqrt a-b\) и получают разность квадратов в знаменателе.
• \(\dfrac{1}{\sqrt a+\sqrt b}=\dfrac{\sqrt a-\sqrt b}{a-b}\).

5. План действий в №8 с буквенным иррациональным выражением

1. Определите тип выражения (рациональное, иррациональное, степенное) и вспомните свойства.
2. Выпишите ОДЗ: знаменатели не равны нулю, подкоренные выражения чётных корней неотрицательны.
3. Упрощайте выражение до подстановки значения. Вынесите множители из-под корня, разложите на множители, примените формулы сокращённого умножения, сократите.
4. Подставьте значение переменной в упрощённое выражение. Если значение отрицательное, внимательно следите за знаком результата.
5. Перепроверьте знаки и арифметику.

Разобранные примеры