8.7. Преобразования числовых логарифмических выражений

1. Определение логарифма

Логарифм числа \(b\) по основанию \(a\) — это показатель степени, в которую нужно возвести \(a\), чтобы получить \(b\):

\(\log_a b=c\iff a^c=b\), где \(a>0\), \(a\ne1\), \(b>0\).

Примеры: \(\log_{10}100=2\), \(\log_2\dfrac{1}{32}=-5\), \(\log_a1=0\), \(\log_33=1\). Логарифмов отрицательных чисел и нуля не существует: аргумент логарифма всегда положителен, основание положительно и не равно единице.

• Десятичный логарифм: \(\lg b=\log_{10}b\).
• Натуральный логарифм: \(\ln b=\log_eb\), где \(e=2{,}718\ldots\)

2. Основное логарифмическое тождество

Если подставить \(c=\log_ab\) в равенство \(a^c=b\), получится

\(a^{\log_ab}=b\) \((a>0,\ a\ne1,\ b>0)\).

Например, \(7\cdot5^{\log_54}=7\cdot4=28\), \(8^{2\log_83}=\left(8^{\log_83}\right)^2=9\).

3. Свойства логарифмов

Везде \(a>0\), \(a\ne1\); все аргументы положительны.

Для сумм и разностей справедливы формулы справа налево: \(\log_ab+\log_ac=\log_a(bc)\), \(\log_ab-\log_ac=\log_a\dfrac bc\) — одинаковые основания можно «сворачивать».

Если аргумент может быть отрицательным (например, у \(\log_ax^2\)), формулу степени записывают с модулем: \(\log_ax^2=2\log_a|x|\).

4. Связь десятичного и натурального логарифмов

\(\ln b=\dfrac{\lg b}{\lg e}\), \(\lg b=\dfrac{\ln b}{\ln10}\): это частные случаи формулы перехода к новому основанию.

5. Как преобразовывать числовые логарифмические выражения

1. Представьте основания и аргументы в виде степеней одного числа: \(16=2^4\), \(36=6^2\), \(25=5^2\), \(0{,}25=2^{-2}\), \(0{,}5=2^{-1}\).
2. Десятичные дроби в аргументе заменяйте обыкновенными (\(0{,}2=\dfrac15\), \(0{,}8=\dfrac45\)), чтобы увидеть степени.
3. Вынесите показатели степени за знак логарифма, а показатель у основания — как множитель \(\dfrac1k\).
4. Если в выражении разные основания, перейдите к одному основанию по формуле перехода.
5. Свёртывайте суммы и разности логарифмов с одинаковым основанием в один логарифм.
6. Применяйте \(\log_aa=1\), \(\log_a1=0\) и основное логарифмическое тождество \(a^{\log_ab}=b\).
7. Если число удобно записать как логарифм, делайте это: например, \(2=\log_39\), поэтому \(2+\log_37=\log_39+\log_37=\log_363\).

Вложенные логарифмы вычисляют изнутри наружу: \(\log_4(\log_216)=\log_44=1\).

Разобранные примеры