Задание 8 · Вычисления и преобразования

8.8. Преобразования буквенных логарифмических выражений

Для репетитора: показать ответы

1. Что нужно держать в голове

В буквенных логарифмических выражениях работают те же свойства, что и в числовых, но к ним добавляется внимание к области допустимых значений: основание положительно и не равно единице, аргумент каждого логарифма строго положителен. Перед упрощением проверьте эти условия — иначе можно потерять или приобрести лишнее.

2. Свойства логарифмов

Везде $a>0$, $a\ne1$, а аргументы положительны.

Свойство	Формула
Основное логарифмическое тождество	$a^{\log_ab}=b$
Единица и основание	$\log_a1=0$, $\log_aa=1$
Произведение	$\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac$
Частное	$\log_a\dfrac bc=\log_ab-\log_ac$
Степень	$\log_ab^n=n\log_ab$
Корень	$\log_a\sqrt[n]{b}=\dfrac1n\log_ab$
Обратное число	$\log_a\dfrac1b=-\log_ab$
Степень в основании	$\log_{a^k}b=\dfrac1k\log_ab$
Степень в основании и в аргументе	$\log_{a^k}b^n=\dfrac nk\log_ab$
Переход к новому основанию	$\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}$
Переворот	$\log_ab=\dfrac1{\log_ba}$, $\log_ab\cdot\log_ba=1$

Для чётной степени аргумент, который может быть отрицательным, записывается с модулем: $\log_ax^2=2\log_a|x|$. Формула $\log_ax^2=2\log_ax$ верна только при $x>0$.

3. Выражение логарифмов через заданные

В буквенных задачах часто известно, чему равны некоторые логарифмы, а нужно найти другой. Разложите аргумент на простые множители, примените свойства произведения и степени и, если нужно, перейдите к общему основанию.

Например, если $\log_52=a$, $\log_53=b$, то

$\log_572=\log_5(2^3\cdot3^2)=3a+2b$;
$\log_515=\log_53+\log_55=b+1$;
$\log_530=a+b+1$;
$\log_312=\dfrac{\log_512}{\log_53}=\dfrac{2a+b}{b}$.

4. Приёмы

Сведение к одному основанию. Если в выражении логарифмы по разным основаниям, воспользуйтесь переходом к новому основанию и приведите всё к одному.
Выделение степеней. Если основание и аргумент связаны степенью, применяйте формулы для $\log_{a^k}b$ и $\log_ab^n$ (например, $\log_{49}13=\tfrac12\log_713$, поэтому $\dfrac{\log_713}{\log_{49}13}=2$).
Свёртка суммы и разности логарифмов с одинаковым основанием в один логарифм.
Замена числа логарифмом: $2=\log_a a^2$, в частности $2=\log_39$.
Формулы справа налево: разность логарифмов можно превратить в логарифм дроби, что часто упрощает вычисления.

5. План действий в №8 с буквенным логарифмическим выражением

Запишите ограничения (ОДЗ) для всех оснований и аргументов.
Приведите логарифмы к одному основанию или выделите степени в основаниях и аргументах.
Вынесите показатели степени за знак логарифма, примените свойства произведения и частного.
Упростите выражение до подстановки значения.
Подставьте значение переменной (если оно задано) и вычислите, используя $\log_aa=1$, $\log_a1=0$, $a^{\log_ab}=b$.

Лайфхак 1. Приводите к одному основанию. Любой набор логарифмов с разными основаниями с помощью формулы перехода превращается в набор логарифмов по одному основанию.

Лайфхак 2. Раскладывайте на простые множители. Чтобы выразить логарифм через заданные, разложите аргумент на множители из заданных логарифмов: $72=2^3\cdot3^2$ даёт $3a+2b$.

Лайфхак 3. Сначала упрощайте. Подставляйте численные значения только в конце решения: в общем виде многое сокращается.

Лайфхак 4. Выделяйте степени. Записывайте числа как степени ($16=2^4$, $36=6^2$, $25=5^2$) — логарифмы с такими основаниями и аргументами сразу упрощаются.

Разобранные примеры

Пример 1

Найдите значение выражения$\log_a(a^3b^4)$, если$\log_b a=\dfrac1{3}$.

Решение

Из условия$\log_a b=3$.

Преобразуем логарифмическое выражение:$\log_a(a^3b^4)=3+4\log_a b=3+4\cdot 3=15$.

Ответ:$15$.

Пример 2

Найдите значение выражения$\log_a(a^6b^1)$, если$\log_b a=\dfrac1{6}$.

Решение

Из условия$\log_a b=6$.

Преобразуем логарифмическое выражение:$\log_a(a^6b^1)=6+1\log_a b=6+1\cdot 6=12$.

Ответ:$12$.

Пример 3

Найдите $\log_a \dfrac{a^4}{b^5}$, если $\log_a b = 15$.

Решение

$\log_a \dfrac{a^4}{b^5} = \log_a a^4 - \log_a b^5 = 4 - 5\log_a b$
По условию $\log_a b=15$, поэтому
$4-5\cdot 15=4-75=-71$
Ответ: $-71$.

Источники

Н. А. Соколова, «Преобразование логарифмических выражений в заданиях профильного ЕГЭ по математике», iro23.ru, 2024
«Преобразование выражений. Задание № 7 ЕГЭ», iro23.ru, 2024
«Логарифм», Большая российская энциклопедия (bigenc.ru)
Материалы по свойствам логарифмов и логарифмическим вычислениям, math100.ru
«Лайфхаки для ЕГЭ по математике 2024», НОМЦ ТГУ (nomc.math.tsu.ru)

У1
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка ab в квадрате правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 11 конец дроби .$
У2
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка b в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$
У3
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка , знаменатель: b в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 2.$
У4
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a в квадрате , знаменатель: b в степени 5 конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 7.$
У5
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a, знаменатель: b в кубе конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b=5.$
У6
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в кубе b в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби .$
У7
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 7 правая круглая скобка , знаменатель: b в кубе конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b=10.$
У8
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка b в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби .$
У9
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в кубе b в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 13 конец дроби .$
У10
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка b в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби .$
У11
Найдите $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка b в кубе правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию a b=14.$
У12
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка , знаменатель: b в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b=15.$
У13
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка ab в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 11 конец дроби .$
У14
Найдите $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка b в кубе правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию a b=10.$
У15
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a, знаменатель: b в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b=9.$
У16
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка , знаменатель: b в кубе конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b=14.$
У17
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка , знаменатель: b в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 11.$
У18
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a в кубе , знаменатель: b в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b=7.$
У19
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка , знаменатель: b в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 12.$
У20
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a в кубе , знаменатель: b в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b=5.$
У21
Найдите значение выражения $\log_a(a^3b^4)$, если $\log_b a=\dfrac{1}{6}$.
У22
Найдите$\log_a\dfrac{a^5}{b^2}$, если$\log_a b=5$.

Д1
Найдите $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка b в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию a b=8.$
Д2
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка , знаменатель: b в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 14.$
Д3
Найдите $логарифм по основанию a левая круглая скобка ab в степени левая круглая скобка 10 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию a b=7.$
Д4
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a в степени 4 , знаменатель: b в кубе конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 14.$
Д5
Найдите $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в квадрате b в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 12.$
Д6
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в квадрате b в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 11 конец дроби .$
Д7
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в кубе b в степени 8 правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 10.$
Д8
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в квадрате b в степени 9 правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 4.$
Д9
Найдите $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в кубе b в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 1.$
Д10
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a, знаменатель: b в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 7.$
Д11
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в кубе b в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 5, знаменатель: 14 конец дроби .$
Д12
Найдите $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в квадрате b в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию a b=8.$
Д13
Найдите $логарифм по основанию a дробь: числитель: a в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка , знаменатель: b в квадрате конец дроби ,$ если $логарифм по основанию a b=6.$
Д14
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка b в степени левая круглая скобка 6 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 2, знаменатель: 15 конец дроби .$
Д15
Найдите $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в кубе b в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 14.$
Д16
Найдите $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 5 правая круглая скобка b в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 10.$
Д17
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка b правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 19 конец дроби .$
Д18
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в квадрате b в степени левая круглая скобка 8 правая круглая скобка правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 4, знаменатель: 7 конец дроби .$
Д19
Найдите $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 9 правая круглая скобка b в кубе правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию a b= минус 12.$
Д20
Найдите значение выражения $логарифм по основанию a левая круглая скобка a в степени левая круглая скобка 4 правая круглая скобка b в квадрате правая круглая скобка ,$ если $логарифм по основанию b a= дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби .$
Д21
Найдите$\log_a\dfrac{a^2}{b^1}$, если$\log_a b=2$.

Свойство	Формула
Основное логарифмическое тождество	\(a^{\log_ab}=b\)
Единица и основание	\(\log_a1=0\), \(\log_aa=1\)
Произведение	\(\log_a(bc)=\log_ab+\log_ac\)
Частное	\(\log_a\dfrac bc=\log_ab-\log_ac\)
Степень	\(\log_ab^n=n\log_ab\)
Корень	\(\log_a\sqrt[n]{b}=\dfrac1n\log_ab\)
Обратное число	\(\log_a\dfrac1b=-\log_ab\)
Степень в основании	\(\log_{a^k}b=\dfrac1k\log_ab\)
Степень в основании и в аргументе	\(\log_{a^k}b^n=\dfrac nk\log_ab\)
Переход к новому основанию	\(\log_ab=\dfrac{\log_cb}{\log_ca}\)
Переворот	\(\log_ab=\dfrac1{\log_ba}\), \(\log_ab\cdot\log_ba=1\)