8.9. Вычисление значений тригонометрических выражений

1. Определения

В прямоугольном треугольнике для острого угла \(\alpha\) (\(a\) — противолежащий катет, \(b\) — прилежащий катет, \(c\) — гипотенуза): \(\sin\alpha=\dfrac ac\), \(\cos\alpha=\dfrac bc\), \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac ab\), \(\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac ba\).

На единичной окружности (радиус \(1\), центр в начале координат): точка, полученная поворотом точки \((1;0)\) на угол \(\alpha\), имеет координаты \((\cos\alpha;\ \sin\alpha)\). Отсюда \(-1\le\sin\alpha\le1\), \(-1\le\cos\alpha\le1\), а \(\operatorname{tg}\alpha=\dfrac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\), \(\operatorname{ctg}\alpha=\dfrac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\).

Перевод: \(\pi\) радиан \(=180^\circ\). Поэтому \(30^\circ=\dfrac\pi6\), \(45^\circ=\dfrac\pi4\), \(60^\circ=\dfrac\pi3\), \(90^\circ=\dfrac\pi2\), \(270^\circ=\dfrac{3\pi}{2}\), \(360^\circ=2\pi\).

2. Таблица значений

Эти значения выводятся из прямоугольного треугольника с углом \(30^\circ\): катет против него равен половине гипотенузы, второй катет по теореме Пифагора равен \(x\sqrt3\) при гипотенузе \(2x\).

3. Знаки по четвертям, чётность, периодичность

Четверти: I — \((0;\tfrac\pi2)\), II — \((\tfrac\pi2;\pi)\), III — \((\pi;\tfrac{3\pi}2)\), IV — \((\tfrac{3\pi}2;2\pi)\).

• \(\sin(-\alpha)=-\sin\alpha\) (нечётная), \(\cos(-\alpha)=\cos\alpha\) (чётная), \(\operatorname{tg}(-\alpha)=-\operatorname{tg}\alpha\).
• Период синуса и косинуса — \(2\pi\): \(\sin(\alpha+2\pi n)=\sin\alpha\), \(\cos(\alpha+2\pi n)=\cos\alpha\). Период тангенса и котангенса — \(\pi\).

4. Основные тождества

• \(\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1\)
• \(\operatorname{tg}\alpha\cdot\operatorname{ctg}\alpha=1\)
• \(1+\operatorname{tg}^2\alpha=\dfrac{1}{\cos^2\alpha}\), \(1+\operatorname{ctg}^2\alpha=\dfrac{1}{\sin^2\alpha}\)

Как найти одну функцию по другой. По \(\sin\alpha\) находим \(\cos\alpha=\pm\sqrt{1-\sin^2\alpha}\), по \(\cos\alpha\) находим \(\sin\alpha=\pm\sqrt{1-\cos^2\alpha}\). Знак выбираем по четверти, в которой лежит угол \(\alpha\). Чтобы найти \(\operatorname{tg}\alpha\), сначала определяют \(\sin\alpha\) и \(\cos\alpha\) с правильными знаками, затем делят.

5. Формулы приведения

Они выражают функции от аргументов вида \(\dfrac\pi2\pm\alpha\), \(\pi\pm\alpha\), \(\dfrac{3\pi}{2}\pm\alpha\), \(2\pi\pm\alpha\) через функции острого угла \(\alpha\).

Правило, чтобы не заучивать таблицу.

1. Выделите из аргумента кратное \(\dfrac\pi2\): например, \(\dfrac{31\pi}{6}=5\pi+\dfrac\pi6\). Лишние целые периоды (\(2\pi\) для \(\sin\) и \(\cos\)) отбросьте.
2. Если в аргументе стоит нечётное число \(\dfrac\pi2\) (то есть \(\dfrac\pi2\), \(\dfrac{3\pi}2\) — вертикальная ось), функция меняется на «сестру»: \(\sin\leftrightarrow\cos\), \(\operatorname{tg}\leftrightarrow\operatorname{ctg}\). Если стоит \(\pi\) или \(2\pi\) (горизонтальная ось), название сохраняется.
3. Знак берут такой, какой имеет исходная функция в четверти, где лежит исходный аргумент (угол \(\alpha\) при этом считают острым).

Пример: \(\sin\dfrac{31\pi}{6}=\sin\left(5\pi+\dfrac\pi6\right)=\sin\left(\pi+\dfrac\pi6\right)=-\sin\dfrac\pi6=-\dfrac12\). Другой пример: \(\sin(90^\circ-\alpha)=\cos\alpha\), поэтому \(\dfrac{5\cos29^\circ}{\sin61^\circ}=\dfrac{5\cos29^\circ}{\sin(90^\circ-29^\circ)}=\dfrac{5\cos29^\circ}{\cos29^\circ}=5\).

6. Формулы двойного угла

• \(\sin2\alpha=2\sin\alpha\cos\alpha\)
• \(\cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha\)
• \(\operatorname{tg}2\alpha=\dfrac{2\operatorname{tg}\alpha}{1-\operatorname{tg}^2\alpha}\)

Для \(\cos2\alpha\) выбирайте ту запись, в которой остаётся нужная вам функция: если известен \(\sin\alpha\), удобна \(1-2\sin^2\alpha\); если известен \(\cos\alpha\), удобна \(2\cos^2\alpha-1\).

7. Как действовать в №8 при вычислении значения

1. Определите, что известно (\(\sin\), \(\cos\) или \(\operatorname{tg}\)) и в какой четверти лежит угол.
2. Найдите недостающую функцию по основному тождеству, выбрав знак по четверти.
3. Если в выражении есть \(2\alpha\), примените формулы двойного угла.
4. Если аргументы разные (\(61^\circ\) и \(29^\circ\)), приведите их к одному углу формулами приведения.
5. Подставьте значения и вычислите.

Разобранные примеры