Задание 9 · Производная и первообразная

9.1. Физический смысл производной

Для репетитора: показать ответы

1. Производная и скорость изменения

Если при изменении аргумента $x$ на $\Delta x$ функция $f$ изменяется на $\Delta f=f(x+\Delta x)-f(x)$, то производная — это предел отношения этих приращений, когда $\Delta x$ стремится к нулю:

$f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\to0}\dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$.

Производная показывает, как быстро меняется величина $y=f(x)$ в данной точке. Обозначения: $f'(x)$, $y'$, $\dfrac{dy}{dx}$.

2. Физический (механический) смысл производной

Пусть тело (материальная точка) движется по прямой и известен закон движения — зависимость координаты или пути от времени: $x(t)$, $s(t)$ (иногда угол поворота $\varphi(t)$).

Средняя скорость за промежуток $\Delta t$ равна $\dfrac{\Delta s}{\Delta t}$. Чтобы получить скорость в конкретный момент, переходят к пределу при $\Delta t\to0$.
Мгновенная скорость в момент $t$ — это производная координаты (пути) по времени: $v(t)=x'(t)=s'(t)$.
Ускорение — скорость изменения скорости, поэтому оно равно производной скорости, то есть второй производной координаты: $a(t)=v'(t)=x''(t)$.

Вообще, если $y$ и $x$ — физические величины, то производная $f'(x)$ задаёт скорость изменения $y$ относительно $x$. Так, если $V(t)$ — объём работы, выполненной за время $t$, то производительность $\Pi(t)=V'(t)$.

Что дано	Что получить	Как
закон движения $x(t)$	скорость $v(t)$	$v(t)=x'(t)$
закон движения $x(t)$	ускорение $a(t)$	$a(t)=x''(t)$
скорость $v(t)$	ускорение $a(t)$	$a(t)=v'(t)$

3. Таблица производных

Функция	Производная
$c$ (число)	$0$
$x^\alpha$	$\alpha x^{\alpha-1}$
$\sqrt{x}$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$
$\dfrac1x$	$-\dfrac1{x^2}$
$e^x$	$e^x$
$a^x$	$a^x\ln a$
$\ln x$	$\dfrac1x$
$\log_ax$	$\dfrac{1}{x\ln a}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\operatorname{tg}x$	$\dfrac{1}{\cos^2x}$
$\operatorname{ctg}x$	$-\dfrac{1}{\sin^2x}$

4. Правила дифференцирования

Пусть $u$ и $v$ — дифференцируемые функции, $c$ — число.

Правило	Формула
Постоянный множитель	$(cu)'=cu'$
Сумма и разность	$(u\pm v)'=u'\pm v'$
Произведение	$(uv)'=u'v+uv'$
Частное	$\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}$, $v\ne0$
Сложная функция	$\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))\cdot g'(x)$

Например, $(\ln(3x^2+5))'=\dfrac{6x}{3x^2+5}$, $\left((1+2x^5)^{15}\right)'=150x^4(1+2x^5)^{14}$.

5. Алгоритм решения задач на физический смысл производной

Определите, что задано: закон движения $x(t)$, $s(t)$ или $\varphi(t)$ — или скорость $v(t)$.
Найдите производную по правилам дифференцирования: получите $v(t)=x'(t)$.
Если требуется ускорение, продифференцируйте ещё раз: $a(t)=v'(t)$.
Ответьте на вопрос:
- скорость (ускорение) в момент $t_0$: подставьте $t_0$ в $v(t)$ (в $a(t)$);
- момент времени, когда скорость равна $v_0$: решите уравнение $v(t)=v_0$ и выберите корень, подходящий по смыслу задачи (время не может быть отрицательным: $t\ge0$).
Проверьте единицы измерения и запишите ответ.

Иногда в условии дан не закон движения, а скорость или объём работы: тогда производная $V'(t)$ задаёт производительность, и задача решается по тому же алгоритму.

Лайфхак 1. Не путайте функцию с производной. Если закон движения $x(t)$ даёт координату, то именно $x'(t)$ даёт скорость: числа подставляют в производную, а не в исходную функцию.

Лайфхак 2. Метод коэффициентов для $v(t)=v_0$. Когда получилось квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$: если $a+b+c=0$, корни $1$ и $\dfrac ca$; если $a-b+c=0$, корни $-1$ и $-\dfrac ca$. Это быстрее дискриминанта.

Лайфхак 3. Единицы измерения. Прежде чем отвечать, посмотрите, в каких единицах задана координата и время, и сверьтесь с тем, в чём просят дать скорость.

Лайфхак 4. Упрощайте перед подстановкой. Раскройте скобки и приведите подобные слагаемые в $v(t)$, и только потом подставляйте $t_0$: так проще и надёжнее.

Частые ошибки.

Незнание правила дифференцирования сложной функции.
Незнание производной натурального логарифма.
Ошибки в формулах производной частного и произведения.

Разобранные примеры

Пример 1

Материальная точка M начинает движение из точки A и движется по прямой на протяжении 12 секунд. График показывает, как менялось расстояние от точки A до точки M со временем. На оси абсцисс откладывается время t в секундах, на оси ординат  — расстояние s.

Определите, сколько раз за время движения скорость точки M обращалась в ноль (начало и конец движения не учитывайте).

Решение

Мгновенная скорость равна производной перемещения по времени. Значение производной равно нулю в точках экстремума функции $s левая круглая скобка t правая круглая скобка .$ Точек экстремума на графике 6.

Ответ: 6.

Пример 2

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе плюс 8t в квадрате минус 9t плюс 28,$ где х  — расстояние от точки отсчёта (в метрах), t  — время движения (в секундах). Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t  =  2 с.

Решение

Найдем закон изменения скорости: $v левая круглая скобка t правая круглая скобка =x' левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус t в квадрате плюс 16t минус 9.$ При t  =  2 c имеем: $v левая круглая скобка 2 правая круглая скобка = минус 4 плюс 32 минус 9=19$ м/с

Ответ: 19.

Пример 3

Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в квадрате плюс 9t минус 29$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=7$ с.

Решение

Найдем закон изменения скорости:

$v левая круглая скобка t правая круглая скобка =x' левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус t плюс 9.$

При t  =  7 c имеем:

$v левая круглая скобка 7 правая круглая скобка = минус 7 плюс 9=2$ м/с.

Ответ: 2.

Источники

И. В. Шеремета, методический материал по заданиям на физический смысл производной, iro23.ru, 2024
А. Н. Семакин, «Математический анализ. Модуль 3. Текст 3.1», МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2017
Е. Ю. Попова, «Математика (профиль). ЕГЭ-2024 (задания № 8, № 12)», вебинар ЦОКО, togirro.ru
Т. И. Козак, «Проверочная работа по алгебре для 11 класса по теме „Геометрический и физический смысл производной“», 2014
«Лайфхаки для ЕГЭ по математике 2024», НОМЦ ТГУ (nomc.math.tsu.ru)

У1
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в кубе минус 3t в квадрате плюс 2t$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/⁠с) в момент времени t  =  6 с.
У2
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе минус 3t в квадрате минус 5t плюс 3$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/⁠с?
У3
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе плюс 2t в квадрате плюс 5t плюс 13$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  =  3 с.
У4
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби t в квадрате плюс t минус 10$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 5 м/с?
У5
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус 3t минус 29$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  =  3 с.
У6
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби t в квадрате плюс 5t минус 19$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?
У7
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в квадрате плюс 6 t минус 11$ где x  — расстояние от точки отсчёта в метрах, t  — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 2 м/c?
У8
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе минус 5t в квадрате минус 4t минус 7$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 71 м/с?
У9
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус 13t плюс 23$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/⁠с?
У10
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби t в квадрате плюс 4t минус 20$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=6$ с.
У11
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в степени 4 плюс 4t в кубе минус 7t в квадрате минус 5t минус 5$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=6$ с.
У12
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби t в кубе плюс 2t в квадрате минус 6t плюс 20$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=8$ с.
У13
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в квадрате плюс 7t плюс 13$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=6$ с.
У14
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус t в степени 4 плюс 9t в кубе минус 7t в квадрате минус 7t плюс 24$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=5$ с.
У15
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус 7t минус 20$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=5$ с.
У16
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в степени 4 плюс 7t в кубе минус 7t в квадрате минус t минус 2$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=3$ с.
У17
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе плюс 4t в квадрате минус 8t минус 16$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 1 м/с?
У18
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби t в кубе плюс 4t в квадрате минус t плюс 28$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=10$ с.
У19
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в квадрате плюс 6t плюс 19$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 14 м/с?
У20
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби t в квадрате плюс t минус 25$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=3$ с.
У21
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в степени 4 минус t в кубе плюс 7t в квадрате плюс 6t минус 29$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=3$ с.
У22
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе плюс t в квадрате минус 9t плюс 12$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 15 м/с?
У23
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе минус 2t в квадрате минус 4t минус 29$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=5$ с.
У24
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в квадрате плюс 4t плюс 14$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 8 м/с?
У25
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в квадрате плюс 3t$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=3$ с.

Д1
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в степени 4 плюс 4t в кубе минус 3t минус 21$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=1$ с.
Д2
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в квадрате плюс 25$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  =  1 с.
Д3
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус t в степени 4 плюс 6t в кубе минус 4t в квадрате плюс 5t минус 5$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=3с.$
Д4
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби t в кубе минус 2t в квадрате минус 4t плюс 3$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 38 м/с?
Д5
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби t в степени 4 плюс t в кубе плюс 6t в квадрате плюс 7t плюс 11$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени t  =  4 с.
Д6
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби t в кубе плюс 7t в квадрате плюс 6t плюс 1,$ где х  — расстояние от точки отсчёта (в метрах), t  — время движения (в секундах). Найдите её скорость (в метрах в секунду) в момент времени t  =  6 с.
Д7
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в квадрате минус 26$ где x  — расстояние от точки отсчёта в метрах, t  — время в секундах, прошедшее с начала движения. В какой момент времени (в секундах) её скорость была равна 8 м/с?
Д8
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби t в кубе минус 2t плюс 1$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 48 м/с?
Д9
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе плюс 4t в квадрате плюс 3t плюс 20$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=4$ с.
Д10
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в кубе плюс 8t в квадрате плюс 8t плюс 10$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=6$ с.
Д11
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в квадрате минус t плюс 14$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=3$ с.
Д12
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в степени 4 плюс 3t в кубе плюс t в квадрате минус 9$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=4$ с.
Д13
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби t в кубе плюс 2t в квадрате плюс 9t минус 7$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=8$ с.
Д14
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби t в квадрате плюс 5t плюс 28$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?
Д15
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка =t в кубе минус 6t в квадрате минус 2t плюс 18$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=5$ с.
Д16
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби t в квадрате плюс t плюс 26$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Д17
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби t в квадрате плюс 3t плюс 29$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=2$ с.
Д18
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби t в степени 4 плюс 3t в кубе плюс 2t в квадрате минус 2t минус 13$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=3$ с.
Д19
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе плюс 6t в квадрате плюс 8t минус 17$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 93 м/с?
Д20
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби t в кубе плюс 2t в квадрате минус 15$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=2$ с.
Д21
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби t в квадрате плюс 9$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 4 м/с?
Д22
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = минус t в квадрате плюс 7t минус 4$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=1$ с.
Д23
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби t в степени 4 плюс 4t в кубе минус 8t в квадрате плюс 7t минус 14$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). Найдите ее скорость (в м/с) в момент времени $t=1$ с.
Д24
Материальная точка движется прямолинейно по закону $x левая круглая скобка t правая круглая скобка = дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби t в кубе минус t в квадрате плюс 16$ (где x  — расстояние от точки отсчета в метрах, t  — время в секундах, измеренное с начала движения). В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 96 м/с?

Что дано	Что получить	Как
закон движения \(x(t)\)	скорость \(v(t)\)	\(v(t)=x'(t)\)
закон движения \(x(t)\)	ускорение \(a(t)\)	\(a(t)=x''(t)\)
скорость \(v(t)\)	ускорение \(a(t)\)	\(a(t)=v'(t)\)

Функция	Производная
\(c\) (число)	\(0\)
\(x^\alpha\)	\(\alpha x^{\alpha-1}\)
\(\sqrt{x}\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt x}\)
\(\dfrac1x\)	\(-\dfrac1{x^2}\)
\(e^x\)	\(e^x\)
\(a^x\)	\(a^x\ln a\)
\(\ln x\)	\(\dfrac1x\)
\(\log_ax\)	\(\dfrac{1}{x\ln a}\)
\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\operatorname{tg}x\)	\(\dfrac{1}{\cos^2x}\)
\(\operatorname{ctg}x\)	\(-\dfrac{1}{\sin^2x}\)

Правило	Формула
Постоянный множитель	\((cu)'=cu'\)
Сумма и разность	\((u\pm v)'=u'\pm v'\)
Произведение	\((uv)'=u'v+uv'\)
Частное	\(\left(\dfrac uv\right)'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}\), \(v\ne0\)
Сложная функция	\(\left(f(g(x))\right)'=f'(g(x))\cdot g'(x)\)