Задание 9 · Производная и первообразная

9.2. Геометрический смысл производной, касательная

Для репетитора: показать ответы

1. Производная и касательная

Производная функции $f$ в точке $x_0$ — это предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю:

$f'(x_0)=\lim\limits_{\Delta x\to 0}\dfrac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$.

Если проводить через две точки графика секущую и приближать вторую точку к первой, секущая превращается в касательную. Отсюда геометрический смысл производной:

Геометрический смысл производной. Значение производной в точке $x_0$ равно угловому коэффициенту касательной к графику в точке с абсциссой $x_0$: $f'(x_0)=k=\operatorname{tg}\alpha$, где $\alpha$ — угол между касательной и положительным направлением оси $Ox$.

2. Знак углового коэффициента

Угол $\alpha$	Как идёт касательная	Значение $f'(x_0)=k$
$0^\circ<\alpha<90^\circ$ (острый)	поднимается слева направо	$k>0$
$\alpha=0^\circ$	горизонтальна (параллельна оси $Ox$)	$k=0$
$90^\circ<\alpha<180^\circ$ (тупой)	опускается слева направо	$k<0$

Чем круче проходит касательная, тем больше модуль производной; чем положе — тем он меньше.

3. Уравнение касательной

Касательная к графику функции $y=f(x)$ в точке с абсциссой $x_0$ задаётся уравнением

$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$.

Это прямая вида $y=kx+b$ с угловым коэффициентом $k=f'(x_0)$, проходящая через точку $(x_0;\,f(x_0))$ графика. Для записи уравнения нужны три величины: $x_0$, число $f(x_0)$ и число $f'(x_0)$.

Если касательная параллельна прямой $y=kx+b$ (или совпадает с ней), то их угловые коэффициенты равны: $f'(x_0)=k$. Например, для прямой $y=7x-5$ получаем $f'(x_0)=7$ — остаётся решить это уравнение относительно $x_0$.
Если касательная параллельна оси абсцисс, то $f'(x_0)=0$.

4. Производные, которые нужно знать

$f(x)$	$f'(x)$	$f(x)$	$f'(x)$
$C$ (число)	$0$	$\sin x$	$\cos x$
$x^n$	$nx^{n-1}$	$\cos x$	$-\sin x$
$\sqrt x$	$\dfrac{1}{2\sqrt x}$	$\operatorname{tg}x$	$\dfrac{1}{\cos^2x}$
$e^x$	$e^x$	$\ln x$	$\dfrac1x$

Правила: производная суммы равна сумме производных; постоянный множитель выносится за знак производной; для произведения, частного и сложной функции есть свои формулы (в заданиях этого типа они нужны реже).

5. Типовые задачи по рисунку

Найти $f'(x_0)$ по графику функции с касательной

Выберите на касательной две точки с целыми координатами (узлы сетки).
Вычислите угловой коэффициент: $k=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$ — достроив прямоугольный треугольник, посчитайте его катеты по клеткам.
Это число и есть $f'(x_0)$. Не забудьте про знак: касательная опускается — ответ отрицательный.

Найти точку, где касательная параллельна заданной прямой или оси $Ox$

Приравняйте $f'(x)$ к угловому коэффициенту прямой (для оси $Ox$ — к нулю).
Если дан график производной $y=f'(x)$, ищите точки, где он пересекает ось $Ox$ (для горизонтальной касательной) или проходит на нужной высоте.

Дан график производной

$f'(x)>0$ — функция возрастает, $f'(x)<0$ — убывает.
Значение производной в точке читается как ордината точки на графике $y=f'(x)$; наибольшее или наименьшее значение на отрезке ищут среди ординат графика производной, проверяя и концы отрезка.

Лайфхак 1. Сначала выясните, какой график перед вами. Прежде чем что-то считать, определите, нарисован график самой функции $f(x)$ или её производной $f'(x)$ — это самая частая путаница. Значения «по графику $f'$» нельзя читать как значения самой $f$.

Лайфхак 2. Считайте по клеткам, а не «на глаз». Если касательная проходит через узлы сетки, берите две такие точки и считайте $k$ по клеткам.

Лайфхак 3. Параллельность и совпадение — одно условие. И параллельная прямая, и совпадающая дают равенство угловых коэффициентов, поэтому отдельно проверять совпадение не нужно.

Лайфхак 4. «Точка» или «значение»? Если в вопросе «в какой точке», в ответ идёт абсцисса $x$; если спрашивают значение — ордината $y$.

Частые ошибки.

Ошибка со знаком углового коэффициента: тупой угол наклона даёт отрицательное $k$.
Путаница графиков функции и производной.
Путаница абсциссы и ординаты в ответе.
Невнимательное чтение условия — одна из главных причин потери баллов в заданиях этого типа.

Разобранные примеры

Пример 1

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  −6.

Решение

Касательная параллельна горизонтальной прямой в точках экстремумов, таких точек на графике 7.

Ответ: 7.

Пример 2

На рисунке изображён график функции $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ параллельна прямой $y=2x плюс 5$ или совпадает с ней.

Решение

Если касательная параллельна прямой $y=2x плюс 5$ или совпадает с ней, то производная в точке касания равна 2. На графике абсцисса данной точки равна 3.

Ответ: 3.

Пример 3

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−9; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −x − 12 или совпадает с ней.

Решение

Значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной. Поскольку касательная параллельна прямой y = −x − 12 или совпадает с ней, их угловые коэффициенты равны −1. Найдем количество точек, в которых y'(x₀) = −1, это соответствует количеству точек пересечения графика производной с прямой y = −1. На данном интервале таких точек 3.

Ответ: 3.

Источники

«Консультация по подготовке к ЕГЭ по математике обучающихся 11 класса. Задание В9», мастер-класс, Т. Л. Малакмадзе, infourok.ru
Методический материал Е. В. Медведевой по заданиям на производную и касательную, ИРО Краснодарского края (iro23.ru), 2023
«Int9. Производная в ЕГЭ. Применение производной», статья сообщества «математика», vk.ru, 2019
«Производная функции», Википедия (ru.wikipedia.org)
Решу ЕГЭ, математика профильного уровня (math-ege.sdamgia.ru): условия и решения разобранных примеров

У1
На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−5; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  6 или совпадает с ней.
У2
На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ в точке $x_0.$
У3
На рисунке изображен график функции y  =  f(x). Прямая, проходящая через начало координат, касается графика этой функции в точке с абсциссой 8. Найдите $f' левая круглая скобка 8 правая круглая скобка .$
У4
Прямая $y=7x минус 5$ параллельна касательной к графику функции $y=x в квадрате плюс 6x минус 8.$ Найдите абсциссу точки касания.
У5
На рисунке изображен график производной функции f(x). Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику y  =  f(x) параллельна прямой y  =  6x или совпадает с ней.
У6
На рисунке изображены график функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус 7f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 21x плюс дробь: числитель: 1, знаменатель: 441 конец дроби$ в точке x₀.
У7
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 9;8 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$  параллельна прямой $y=x минус 7$  или совпадает с ней.
У8
На рисунке изображён график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ в точке $x_0.$
У9
Прямая $y=7x минус 5$ параллельна касательной к графику функции $y=x в квадрате плюс 6x минус 8.$ Найдите абсциссу точки касания.
У10
Прямая $y= минус 3x минус 8$ является касательной к графику функции $ax в квадрате плюс 27x плюс 7.$ Найдите a.
У11
Прямая $y=9x плюс 5$ является касательной к графику функции $y = 18x в квадрате плюс bx плюс 7.$ Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.
У12
На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к этому графику, проведённая в точке $x_0= минус 3.$ Найдите значение производной функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ в точке x₀.
У13
На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 9;8 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y=10.$
У14
На рисунке изображён график функции y=f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
У15
На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ параллельна прямой y  =  3x − 6 или совпадает с ней.
У16
Прямая $y=4x плюс 4$ является касательной к графику функции $y=ax в квадрате плюс 24x плюс 8.$ Найдите $a.$
У17
Прямая $y = 7x плюс 1$ является касательной к графику функции $y = 7x в квадрате плюс bx плюс 29.$ Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.
У18
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−9; 3). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y  =  2x − 19 или совпадает с ней.
У19
На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ в точке $x_0.$
У20
Прямая $y = 8x плюс 3$ является касательной к графику функции $y = 3x в квадрате плюс bx плюс 30.$ Найдите b, учитывая, что абсцисса точки касания меньше 0.
У21
На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−3; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  1.
У22
На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите абсциссу точки графика y  =  f(x), в которой касательная к графику функции параллельна прямой y  =  x − 2 или совпадает с ней.
У23
Прямая $y=4x плюс 6$ является касательной к графику функции $y=2x в квадрате плюс 16x плюс c.$ Найдите с.
У24
На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  18.
У25
На рисунке изображены график функции y = f (x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f (x) в точке x₀.
У26
Прямая $y=5x плюс 1$ является касательной к графику функции $y=x в квадрате плюс 13x плюс c.$ Найдите с.
У27
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y  =  3x или совпадает с ней.
У28
На рисунке изображён график функции y  =  f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
У29
Прямая $y = x минус 15$ является касательной к графику функции $y = x в кубе минус 3x в квадрате плюс 4x минус 16.$ Найдите абсциссу точки касания.
У30
На рисунке изображен график производной функции $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (−4; 13). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ параллельна прямой y  =  −2x − 10 или совпадает с ней.

Д1
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции f(x) параллельна прямой y = −2x − 11 или совпадает с ней.
Д2
На рисунке изображён график функции y  =  f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x_₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
Д3
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите абсциссу точки, в которой касательная к графику $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ параллельна прямой $y=2x минус 2$ или совпадает с ней.
Д4
Прямая $y=3x плюс 4$ является касательной к графику функции $y=3x в квадрате минус 3x плюс c.$ Найдите $c.$
Д5
На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к этому графику, проведённая в точке $x_0=2.$ Найдите значение производной функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в квадрате минус f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс 1$ в точке x₀.
Д6
На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка = левая круглая скобка f' левая круглая скобка x правая круглая скобка минус 0,5 правая круглая скобка умножить на 6$ в точке x₀.
Д7
На рисунке изображён график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ в точке $x_0.$
Д8
На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (−12; 2). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ параллельна прямой y  =  3x − 2 или совпадает с ней.
Д9
Прямая $y= минус 6x минус 2$ является касательной к графику функции $y=x в кубе минус 5x в квадрате плюс x минус 5.$ Найдите абсциссу точки касания.
Д10
Прямая $y=5x минус 8$ является касательной к графику функции $y=4x в квадрате минус 15x плюс c.$ Найдите c.
Д11
На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Найдите значение производной функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =9f левая круглая скобка x правая круглая скобка минус дробь: числитель: 2, знаменатель: 7 конец дроби x плюс 7$ в точке x₀.
Д12
На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к этому графику, проведённая в точке x₀. Уравнение касательной показано на рисунке. Найдите значение производной функции $g левая круглая скобка x правая круглая скобка =3f левая круглая скобка x правая круглая скобка плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 7 конец дроби x минус 4$ в точке x₀.
Д13
На рисунке изображён график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ в точке $x_0.$
Д14
На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (−8; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ параллельна прямой y  =  3x + 12 или совпадает с ней.
Д15
Прямая $y= минус 6x минус 10$ является касательной к графику функции $y=x в кубе плюс 4x в квадрате минус 6x минус 10.$ Найдите абсциссу точки касания.
Д16
Прямая $y=5x плюс 5$ является касательной к графику функции $8x в квадрате плюс 29x плюс c.$ Найдите c.
Д17
На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 5;5 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y=6.$
Д18
На рисунке изображён график функции y  =  f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
Д19
Прямая $y=3x минус 2$ является касательной к графику функции $y=x в кубе минус 5x в квадрате плюс 6x плюс 7.$ Найдите абсциссу точки касания.
Д20
На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 6; 5 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой $y= минус 6.$
Д21
На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ в точке $x_0.$
Д22
Прямая y  =  −4x − 8 является касательной к графику функции y  =  x³ − 3x² − x − 9. Найдите абсциссу точки касания.
Д23
На рисунке изображен график функции y=f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  12 или совпадает с ней.
Д24
На рисунке изображены график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к нему в точке с абсциссой $x_0.$ Найдите значение производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ в 
точке  $x_0.$
Д25
Прямая $y=3x плюс 7$ параллельна касательной к графику функции $y=x в квадрате минус 5x плюс 4.$ Найдите абсциссу точки касания.
Д26
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y  =  −6.
Д27
На рисунке изображён график функции y  =  f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.
Д28
На рисунке изображены график функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ в точке x₀.
Д29
На рисунке изображен график функции y = f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 12 или совпадает с ней.
Д30
На рисунке изображён график функции y  =  f(x) и касательная к нему в точке с абсциссой x₀. Найдите значение производной функции f(x) в точке x₀.

Угол \(\alpha\)	Как идёт касательная	Значение \(f'(x_0)=k\)
\(0^\circ<\alpha<90^\circ\) (острый)	поднимается слева направо	\(k>0\)
\(\alpha=0^\circ\)	горизонтальна (параллельна оси \(Ox\))	\(k=0\)
\(90^\circ<\alpha<180^\circ\) (тупой)	опускается слева направо	\(k<0\)

\(f(x)\)	\(f'(x)\)	\(f(x)\)	\(f'(x)\)
\(C\) (число)	\(0\)	\(\sin x\)	\(\cos x\)
\(x^n\)	\(nx^{n-1}\)	\(\cos x\)	\(-\sin x\)
\(\sqrt x\)	\(\dfrac{1}{2\sqrt x}\)	\(\operatorname{tg}x\)	\(\dfrac{1}{\cos^2x}\)
\(e^x\)	\(e^x\)	\(\ln x\)	\(\dfrac1x\)

9.2. Геометрический смысл производной, касательная

1. Производная и касательная

2. Знак углового коэффициента

3. Уравнение касательной

4. Производные, которые нужно знать

5. Типовые задачи по рисунку

Найти \(f'(x_0)\) по графику функции с касательной

Найти точку, где касательная параллельна заданной прямой или оси \(Ox\)

Дан график производной

Разобранные примеры