Задание 9 · Производная и первообразная

9.3. Применение производной к исследованию функций (по графику f или f')

Для репетитора: показать ответы

1. Связь производной с поведением функции

Производная показывает, как быстро и в какую сторону меняется функция.

Что происходит с производной	Что происходит с функцией $f(x)$
$f'(x)>0$ на промежутке	функция возрастает, график «идёт вверх»
$f'(x)<0$ на промежутке	функция убывает, график «идёт вниз»
$f'(x_0)=0$, знак не меняется	экстремума нет
$f'$ меняет знак с «$+$» на «$-$» в точке $x_0$	$x_0$ — точка максимума
$f'$ меняет знак с «$-$» на «$+$» в точке $x_0$	$x_0$ — точка минимума

Чем больше модуль производной, тем быстрее меняется функция (круче график); чем меньше — тем медленнее.

2. Критические точки и экстремумы

Стационарные точки — точки, в которых $f'(x_0)=0$.
Критические точки — внутренние точки области определения, в которых производная равна нулю или не существует.
Необходимое условие экстремума: если $x_0$ — точка экстремума, то $f'(x_0)=0$ (либо производная в ней не существует). Но обратное неверно: ноль производной ещё не означает экстремум.
Достаточное условие: экстремум есть, если при переходе через точку производная меняет знак. Знак проверяют методом интервалов.
Граница области определения (край графика) не может быть точкой экстремума.
Количество точек экстремума равно числу смен знака производной.

3. Как читать график производной $y=f'(x)$

Здесь график нарисован для производной, а спрашивают про саму функцию. Смотрите на положение графика относительно оси $Ox$:

график выше оси $Ox$ — функция возрастает; ниже — убывает;
пересечение оси $Ox$ «снизу вверх» — точка минимума, «сверху вниз» — точка максимума;
если график лишь касается оси $Ox$ и не переходит на другую сторону, знак не меняется и экстремума нет.

Типичные вопросы

Промежутки возрастания (убывания). Найдите промежутки, где график производной выше (ниже) оси $Ox$. Если просят длину промежутков или их сумму, считайте длины по клеткам оси $Ox$ и складывайте.
Количество или сумма целых точек на промежутках монотонности: найдите промежутки, выпишите все целые числа, которые в них входят, и посмотрите, включены ли концы промежутка по условию.
Точки максимума и минимума — по смене знака производной.
Наибольшее или наименьшее значение функции на отрезке. Сравнивают значения функции на концах отрезка и в точках экстремума внутри него.
Где касательная к графику $f$ параллельна прямой или оси $Ox$? Там, где $f'$ принимает нужное значение (для оси $Ox$ — равна нулю).
Где производная принимает наибольшее (наименьшее) значение? Ищите наибольшую (наименьшую) ординату графика $y=f'(x)$ на заданном отрезке, не забывая концы.
В какой из точек функция растёт (убывает) быстрее всего? Там, где модуль производной наибольший; значения удобно упорядочить по возрастанию или убыванию.

4. Как читать график самой функции $y=f(x)$

«Бугры» — точки максимума, «ямы» — точки минимума; на участках, где график идёт вверх, $f'>0$, где вниз — $f'<0$.
Точки с горизонтальной касательной — это точки, где $f'(x)=0$; количество таких точек считают по графику функции.
Чтобы узнать значение $f'(x_0)$ в точке, где проведена касательная, найдите её угловой коэффициент: возьмите две точки на касательной с целыми координатами и вычислите $k=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.

5. Алгоритм исследования функции с помощью производной

Найдите производную $f'(x)$.
Найдите стационарные и критические точки.
Отметьте их на числовой прямой и определите знак производной на каждом промежутке.
Сделайте выводы о промежутках монотонности и точках экстремума.

Лайфхак 1. Сначала определите, какой график дан: функции $f(x)$ или производной $f'(x)$. Это самая частая путаница; для графика производной экстремумы ищут по смене знака, а не по «буграм» и «ямам».

Лайфхак 2. Для знака производной смотрите, выше или ниже оси $Ox$ лежит график $f'(x)$, а не на то, растёт он или убывает сам.

Лайфхак 3. Пересчитывайте клетки. Для длин промежутков и угловых коэффициентов используйте узлы сетки, а не оценку на глаз.

Лайфхак 4. Перед ответом проверьте границы: нужны ли концы промежутка и точки разрыва, а также нужен ли в ответе $x$ («точка») или $y$ («значение»).

Частые ошибки.

Чтение значений графика $f'$ как значений самой $f$ (и наоборот).
Считать ноль производной точкой экстремума: если график $f'$ касается оси $Ox$, но не меняет знак, экстремума нет.
Принимать границу области определения за точку экстремума.
Пропуск целых точек при подсчёте количества или суммы — проверяйте границы промежутков.
Путаница абсциссы и ординаты в ответе.

Разобранные примеры

Пример 1

На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (−3; 9) . Найдите количество решений уравнения $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ на отрезке [0; 8].

Решение

Производная равна 0 в точках экстремумов, таких точек на графике на заданном отрезке 3.

Ответ: 3.

Пример 2

На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−2; 10). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).

Решение

Заданная функция имеет максимумы в точках 1, 4, 9, и минимумы в точках 0, 3, 5. Поэтому сумма точек экстремума равна 0 + 1 + 3 + 4 + 5 + 9  =  22.

Ответ: 22.

Пример 3

На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 10). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−3; 8].

Решение

Точки минимума соответствуют точкам смены знака производной с минуса на плюс. На отрезке [−3; 8] функция имеет одну точку минимума x  =  4.

Ответ: 1.

Источники

«Int9. Производная в ЕГЭ. Применение производной», статья сообщества «математика», vk.ru, 2019
«Консультация по подготовке к ЕГЭ по математике обучающихся 11 класса. Задание В9», мастер-класс, Т. Л. Малакмадзе, infourok.ru
Методический материал Е. В. Медведевой по заданиям на производную и касательную, ИРО Краснодарского края (iro23.ru), 2023
«Производная и ее применение в заданиях ЕГЭ», конспект урока математики в 11 классе, О. Е. Горбунова, МБОУ «Сатинская СОШ»
Решу ЕГЭ, математика профильного уровня (math-ege.sdamgia.ru): условия и решения разобранных примеров

У1
На рисунке изображен график $y = f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (–6; 6). Найдите промежутки возрастания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
У2
На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 2; 12 правая круглая скобка .$ Найдите сумму точек экстремума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$
У3
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−18; 6). Найдите количество точек минимума функции f(x) на отрезке [−13; 1].
У4
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−5; 7). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
У5
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−2; 12). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
У6
На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
У7
На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — и восемь точек на оси абсцисс: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots ,$ $x_8.$ В скольких из этих точек функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ убывает?
У8
На рисунке изображен график $y = f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 6; 10 правая круглая скобка .$ Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
У9
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 7; 14 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек максимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 6;9 правая квадратная скобка .$
У10
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 5;5 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек экстремума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 4;4 правая квадратная скобка .$
У11
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 2; 12 правая круглая скобка .$ Найдите промежутки убывания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ В ответе укажите длину наибольшего из них.
У12
На рисунке изображен график функции y  =  f(x),определенной на интервале $левая круглая скобка минус 1; 10 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
У13
На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$ производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и семь точек на оси абсцисс: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots,$ $x_7.$ В скольких из этих точек функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ убывает?
У14
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 6;6 правая круглая скобка .$ В какой точке отрезка $левая квадратная скобка 3;5 правая квадратная скобка$   $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$  принимает наибольшее значение.
У15
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 4; 16 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек максимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке $левая квадратная скобка 0;13 правая квадратная скобка .$
У16
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 8; 14 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек экстремума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 4;10 правая квадратная скобка .$
У17
На рисунке изображен график производной функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (−10; 4). Найдите промежутки убывания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ В ответе укажите длину наибольшего из них.
У18
На рисунке изображён график $y = f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и шесть точек на оси абсцисс: x₁, x₂, ..., x₆. В скольких из этих точек функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ возрастает?
У19
На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и отмечены точки -2, -1, 2, 3. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
У20
На рисунке изображен график функции $y = f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — определенной на интервале (−7; 13). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−5; 12].
У21
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−6; 5). Найдите промежутки убывания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
У22
На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале $левая круглая скобка минус 3;10 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
У23
На рисунке изображён график $y=f в степени левая круглая скобка \prime правая круглая скобка левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ На оси абсцисс отмечено одиннадцать точек: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $x_4,$ $x_5,$ $x_6,$ $x_7,$ $x_8,$ $x_9,$ $x_10,$ $x_11.$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ?$
У24
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 3). В какой точке отрезка [−3; 1]  f(x), принимает наименьшее значение?
У25
На рисунке изображён график производной $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$ функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале (−8; 9). Найдите количество точек минимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ принадлежащих отрезку [−4; 8].
У26
На рисунке изображён график функции $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале $левая круглая скобка минус 5;7 правая круглая скобка .$ Найдите точку экстремума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ принадлежащую отрезку $левая квадратная скобка минус 1;4 правая квадратная скобка .$
У27
На рисунке изображён график функции $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ На оси абсцисс отмечены семь точек: $x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5 , x_6 , x_7$ . Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ ?
У28
На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и отмечены точки −2, 1, 3, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
У29
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−10; 8). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−9;6].
У30
На рисунке изображён график функции $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале (−2;11). Найдите промежутки убывания функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Д1
На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 6; 8 правая круглая скобка .$ Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Д2
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−7; 14). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−6; 9].
Д3
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 11). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−10; 10].
Д4
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−11; 3). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Д5
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−4; 8). Найдите точку экстремума функции f(x) на отрезке [−2; 6].
Д6
На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечены восемь точек: x₁, x₂, x₃, ..., x₈. Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции f(x)?
Д7
На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и отмечены точки −2, −1, 1, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Д8
На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−1; 13). Определите количество целых точек, в которых производная функции положительна.
Д9
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 18; 6 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек минимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 13;1 правая квадратная скобка .$
Д10
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 11; 3 правая круглая скобка .$ Найдите промежутки возрастания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ В ответе укажите длину наибольшего из них.
Д11
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 6;6 правая круглая скобка .$ Найдите точку экстремума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на интервале $левая круглая скобка минус 4;5 правая круглая скобка .$
Д12
На рисунке изображён график $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$ производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и шесть точек на оси абсцисс: $x_1,$ $x_2,$ $x_3,$ $\dots,$ $x_6.$ В скольких из этих точек функция $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ возрастает?
Д13
На рисунке изображен график функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и отмечены точки −1, 1, 2, 4. В какой из этих точек значение производной наименьшее? В ответе укажите эту точку.
Д14
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 9;8 правая круглая скобка .$ В какой точке отрезка $левая квадратная скобка 1;7 правая квадратная скобка$   $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ принимает наименьшее значение.
Д15
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 2; 21 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек минимума функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ на отрезке $левая квадратная скобка 2;19 правая квадратная скобка .$
Д16
На рисунке изображен график производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определенной на интервале $левая круглая скобка минус 1; 16 правая круглая скобка .$ Найдите промежутки возрастания функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ В ответе укажите длину наибольшего из них.
Д17
На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−3; 9). Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Д18
На рисунке изображён график $y = f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ На оси абсцисс отмечено девять точек: $x_1 , x_2 ,x_3 ,x_4 ,x_5 ,x_6 ,x_7 ,x_8 ,x_9 .$ Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ?$
Д19
На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале (−4; 8). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Д20
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−16; 4). Найдите количество точек экстремума функции f(x) на отрезке [−14; 2].
Д21
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−8; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Д22
На рисунке изображён график функции $y=f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ На оси абсцисс отмечены девять точек: $x_1 , x_2 , x_3 , x_4 , x_5 , x_6 , x_7 , x_8 , x_9$ . Сколько из этих точек лежит на промежутках возрастания функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ ?
Д23
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (–5; 6). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.
Д24
На рисунке изображен график производной функции f(x), определенной на интервале (−15; 2). Найдите количество точек максимума функции f(x) на отрезке [−11;0].
Д25
На рисунке изображён график y = f '(x)  — производной функции f (x), определённой на интервале (−5; 10). Найдите промежутки возрастания функции f (x). В ответе укажите длину наибольшего из них.
Д26
На рисунке изображён график функции y  =  f(x), определённой на интервале $левая круглая скобка минус 4;9 правая круглая скобка .$ Найдите количество точек, в которых производная функции f(x) равна 0.
Д27
На рисунке изображён график $y = f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции f(x). На оси абсцисс отмечено девять точек: x₁, x₂, x₃, x₄, x₅, x₆, x₇, x₈, x₉. Сколько из этих точек принадлежит промежуткам убывания функции f(x)?
Д28
На рисунке изображен график функции y  =  f(x), определенной на интервале (−1; 13). Найдите сумму точек экстремума функции f(x).
Д29
На рисунке изображен график $y = f' левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — производной функции f(x), определенной на интервале (–⁠10; 7). Найдите количество точек минимума функции f(x), принадлежащих отрезку [–⁠2; 6].
Д30
На рисунке изображён график y = f '(x)  — производной функции f(x), определённой на интервале (−3; 11). Найдите промежутки возрастания функции f(x). В ответе укажите длину наибольшего из них.

Что происходит с производной	Что происходит с функцией \(f(x)\)
\(f'(x)>0\) на промежутке	функция возрастает, график «идёт вверх»
\(f'(x)<0\) на промежутке	функция убывает, график «идёт вниз»
\(f'(x_0)=0\), знак не меняется	экстремума нет
\(f'\) меняет знак с «\(+\)» на «\(-\)» в точке \(x_0\)	\(x_0\) — точка максимума
\(f'\) меняет знак с «\(-\)» на «\(+\)» в точке \(x_0\)	\(x_0\) — точка минимума

9.3. Применение производной к исследованию функций (по графику f или f')

1. Связь производной с поведением функции

2. Критические точки и экстремумы

3. Как читать график производной \(y=f'(x)\)

Типичные вопросы

4. Как читать график самой функции \(y=f(x)\)

5. Алгоритм исследования функции с помощью производной

Разобранные примеры