Задание 9 · Производная и первообразная

9.4. Первообразная

Для репетитора: показать ответы

1. Что такое первообразная

Дифференцирование по заданной функции находит производную. Обратная операция — интегрирование: по производной восстанавливают исходную функцию. Её называют первообразной (образно — «родителем» производной).

Определение. Функция $F(x)$ называется первообразной для функции $f(x)$ на промежутке, если во всех точках этого промежутка $F'(x)=f(x)$.

Пример из физики: если закон движения $s(t)=t^3+2t$, то скорость — его производная $v(t)=3t^2+2$. Обратная задача: по скорости $v(t)=3t^2$ найти закон движения. Получаем $s(t)=t^3+C$.

2. Основное свойство первообразных

Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то и $F(x)+C$ (где $C$ — любое число) тоже первообразная для $f(x)$, потому что производная постоянной равна нулю.
Любые две первообразные одной функции на промежутке отличаются на постоянную. Поэтому все первообразные записывают в виде $F(x)+C$ — это совокупность всех первообразных, или неопределённый интеграл $\int f(x)\,dx=F(x)+C$.
Графики первообразных одной функции получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси $Oy$.

Пример: для $f(x)=x^2$ первообразные имеют вид $\dfrac{x^3}{3}+C$.

3. Таблица первообразных

$f(x)$	Первообразная $F(x)$	$f(x)$	Первообразная $F(x)$
$k$ (число)	$kx$	$\sin x$	$-\cos x$
$x^n$, $n\ne-1$	$\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$	$\cos x$	$\sin x$
$\dfrac1x$	$\ln\|x\|$	$\dfrac{1}{\cos^2x}$	$\operatorname{tg}x$
$\dfrac1{\sqrt x}$	$2\sqrt x$	$\dfrac{1}{\sin^2x}$	$-\operatorname{ctg}x$
$e^x$	$e^x$	$a^x$	$\dfrac{a^x}{\ln a}$

Таблицу нужно знать наизусть; она получается «разворотом» таблицы производных. Любую найденную первообразную можно проверить дифференцированием: её производная должна совпасть с исходной функцией.

4. Три правила нахождения первообразных

Сумма. Первообразная суммы равна сумме первообразных: если $F$ — первообразная для $f$, а $G$ — для $g$, то $F+G$ — первообразная для $f+g$.
Постоянный множитель. Если $F$ — первообразная для $f$, то $kF$ — первообразная для $kf$.
Линейная замена аргумента. Если $F(x)$ — первообразная для $f(x)$, то $\dfrac1k F(kx+b)$ — первообразная для $f(kx+b)$, где $k\ne0$.

Примеры: для $f(x)=x^3+5x^4$ получаем $F(x)=\dfrac{x^4}{4}+x^5+C$; для $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt x}-\dfrac1{x^2}$ — $F(x)=2\sqrt x+\dfrac1x+C$.

Если известно, что график первообразной проходит через заданную точку, постоянную $C$ находят подстановкой координат этой точки. Например, для $f(x)=\dfrac1{\cos^2x}$ и точки $\left(\dfrac\pi4;-1\right)$: $\operatorname{tg}\dfrac\pi4+C=-1$, откуда $C=-2$ и $F(x)=\operatorname{tg}x-2$.

5. Первообразная и площадь. Формула Ньютона — Лейбница

Криволинейная трапеция — фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной на отрезке $[a;b]$ функции $f(x)$, осью $Ox$ и прямыми $x=a$, $x=b$.

Площадь криволинейной трапеции равна приращению любой первообразной на отрезке: $S=F(b)-F(a)$. Для определённого интеграла: $\int\limits_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)$ — формула Ньютона — Лейбница.

Так как значение $F(b)-F(a)$ не зависит от выбора постоянной $C$, при вычислении можно брать любую удобную первообразную, например без свободного члена.

6. Связь графиков $f$ и $F$

Где $F(x)$ возрастает, там $f(x)>0$; где $F(x)$ убывает, там $f(x)<0$.
В точках, где у графика $F$ горизонтальная касательная (в частности, в точках экстремума), $F'(x)=0$, а значит, $f(x)=0$. Нули $f$ по графику $F$ ищут именно так — только внутри заданного отрезка.
Если $f$ на отрезке — простая фигура (например, трапеция или треугольник), разность $F(b)-F(a)$ находят как площадь этой фигуры по геометрическим формулам.
Если нет вертикальных границ, основания фигуры сводятся к точкам пересечения графика с осью $Ox$; дальше применяют тот же метод.

Лайфхак 1. Выберите удобную первообразную. Если $F(x)$ задана формулой, можно взять другую первообразную, отличающуюся на постоянную (например, отбросить свободный член), и вычислять её значения на концах отрезка.

Лайфхак 2. Нули $f$ — это горизонтальные касательные к $F$. Чтобы найти, сколько корней у уравнения $f(x)=0$, посчитайте точки графика $F$ с горизонтальной касательной на нужном отрезке.

Лайфхак 3. Проверяйте дифференцированием. Взять производную от найденной $F(x)$ — быстрый способ убедиться, что получилась именно $f(x)$.

Лайфхак 4. Оценивайте правдоподобие. В заданиях ЕГЭ площади по рисунку — небольшие числа; ответ в сотни единиц или отрицательная площадь означают ошибку.

Частые ошибки.

Отрицательное значение площади: площадь всегда положительна.
Слишком большой результат (сотни квадратных единиц) — такие ответы в заданиях ЕГЭ маловероятны, результат нужно проверять на правдоподобие.

Разобранные примеры

Пример 1

На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  $F левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 3 правая круглая скобка ,$ где  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$

Решение

Разность значений первообразной в точках 5 и 3 равна площади выделенной на рисунке трапеции. Поэтому

$F левая круглая скобка b правая круглая скобка минус F левая круглая скобка a правая круглая скобка = дробь: числитель: 1 плюс 2, знаменатель: 2 конец дроби умножить на 2=3.$

Ответ: 3.

Пример 2

На рисунке изображён график функции $y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ которая является одной из первообразных некоторой функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале $левая круглая скобка минус 2;4 правая круглая скобка .$ Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 1;3 правая квадратная скобка .$

Решение

По определению первообразной на интервале (−2; 4) справедливо равенство

$f левая круглая скобка x правая круглая скобка =F' левая круглая скобка x правая круглая скобка .$

Следовательно, решениями уравнения f(x)  =  0 являются точки экстремумов изображенной на рисунке функции F(x) Из них на отрезке [−1; 3] лежат 8 точек. Таким образом, на отрезке [−1; 3] уравнение f(x)  =  0 имеет 8 решений.

Ответ: 8.

Пример 3

На рисунке изображён график функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = 2x в кубе минус 60x в квадрате плюс 601x минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 7 конец дроби$   — одна из первообразных функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.

Решение

Площадь выделенной фигуры равна разности значений первообразных, вычисленных в точках 11 и 9. Получаем:

$F левая круглая скобка 11 правая круглая скобка = 2 умножить на 11 в кубе минус 60 умножить на 11 в квадрате плюс 601 умножить на 11 минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 7 конец дроби = целая часть: 2011, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 7 ,$

$F левая круглая скобка 9 правая круглая скобка = 2 умножить на 9 в кубе минус 60 умножить на 9 в квадрате плюс 601 умножить на 9 минус дробь: числитель: 12, знаменатель: 7 конец дроби = целая часть: 2005, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 7 ,$

$F левая круглая скобка 11 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 9 правая круглая скобка = целая часть: 2011, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 7 минус целая часть: 2005, дробная часть: числитель: 2, знаменатель: 7 = 6.$

Ответ: 6.

Источники

«Решение заданий ЕГЭ по математике профильного уровня по теме «Первообразная и площадь криволинейной трапеции» (задание №8 в модели КИМ 2025 года)», И. В. Гришина, ГАОУ СО «Гимназия № 1» (Саратов)
«Первообразная: график функции, формулы, правила нахождения, свойства для 11 класса», статья на kp.ru
«Первообразная», презентация к учебнику А. Г. Мордковича «Алгебра и начала математического анализа 10–11», О. В. Былинкина, urok.1sept.ru
«Первообразная и её применение в школьном курсе математики», выпускная квалификационная работа М. И. Гусевой, НИУ «БелГУ», 2017
«Неопределённый интеграл. Основные методы интегрирования», лекция, elearning.volgmed.ru
«Первообразная», Википедия (ru.wikipedia.org)
Решу ЕГЭ, математика профильного уровня (math-ege.sdamgia.ru): условия и решения разобранных примеров

У1
На рисунке изображён график функции $y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ одной из первообразных некоторой функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале $левая круглая скобка минус 2;6 правая круглая скобка .$ Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 1;5 правая квадратная скобка .$
У2
На рисунке изображён график функции y  =  f(x). Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс 30x в квадрате плюс 302x минус дробь: числитель: 15, знаменатель: 8 конец дроби$   — одна из первообразных функции y  =  f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
У3
На рисунке изображён график функции $y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка$ одной из первообразных некоторой функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале $левая круглая скобка минус 3;6 правая круглая скобка .$ Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 2;5 правая квадратная скобка .$
У4
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 9 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 34, знаменатель: 3 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 280, знаменатель: 3 конец дроби x минус дробь: числитель: 18, знаменатель: 5 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
У5
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  $F левая круглая скобка 8 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 6 правая круглая скобка ,$ где  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$
У6
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби x в кубе плюс дробь: числитель: 51, знаменатель: 4 конец дроби x в квадрате минус 105x минус 3$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
У7
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе минус 30x в квадрате плюс 301x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 9 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
У8
На рисунке изображён график функции $y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одной из первообразных некоторой функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале $левая круглая скобка минус 2;4 правая круглая скобка .$ Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 1;3 правая квадратная скобка .$
У9
На рисунке изображён график функции y = F(x)  — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−4; 3). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−3; 1].
У10
На рисунке изображён график дифференцируемой функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале (−10; 3). Найдите количество решений уравнения $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = 0$ на отрезке [−7,5; −2,5].
У11
На рисунке изображён график некоторой функции y = f(x). Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус x в кубе минус 27x в квадрате минус 240x минус 8$   — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
У12
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби x в кубе плюс дробь: числитель: 51, знаменатель: 10 конец дроби x в квадрате минус 42x минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 11 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
У13
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 6 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 17, знаменатель: 4 конец дроби x в квадрате минус 35x минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 11 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
У14
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка =2x в кубе плюс 60x в квадрате плюс 602x минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 4 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
У15
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  $F левая круглая скобка 5 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 2 правая круглая скобка ,$ где  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$
У16
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 30 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 33, знаменатель: 4 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 297, знаменатель: 5 конец дроби x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
У17
На рисунке изображён график некоторой функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в кубе плюс 27 x в квадрате плюс 249 x минус 3$   — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
У18
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  $F левая круглая скобка 8 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 2 правая круглая скобка ,$ где  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$
У19
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 4 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 21, знаменатель: 4 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 135, знаменатель: 4 конец дроби x минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 2 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
У20
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в кубе плюс 24x в квадрате плюс 195 x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$   — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
У21
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  $F левая круглая скобка 7 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 4 правая круглая скобка ,$ где  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$
У22
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 5, знаменатель: 8 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 105, знаменатель: 8 конец дроби x в квадрате минус 90x минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 2 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
У23
На рисунке изображён график некоторой функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в кубе плюс 21 x в квадрате плюс 151 x минус 1$   — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
У24
На рисунке изображён график функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале (–3; 11). Найдите наименьшее значение функции f(x) на отрезке [2; 9,5].
У25
На рисунке изображён график некоторой функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = x в кубе плюс 21 x в квадрате плюс 153 x минус дробь: числитель: 13, знаменатель: 10 конец дроби$   — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.

Д1
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  $F левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 2 правая круглая скобка ,$ где  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$
Д2
На рисунке изображен график некоторой функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Пользуясь рисунком, вычислите определенный интеграл $интеграл \limits_1 в степени 5 f левая круглая скобка x правая круглая скобка dx.$
Д3
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка =x в кубе плюс 30x в квадрате плюс 305x минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 5 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
Д4
На рисунке изображён график функции $y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одной из первообразных некоторой функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале $левая круглая скобка минус 2;4 правая круглая скобка .$ Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 1;3 правая квадратная скобка .$
Д5
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка =2x в кубе минус 54x в квадрате плюс 488x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
Д6
На рисунке изображён график функции $y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одной из первообразных некоторой функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале $левая круглая скобка минус 2;4 правая круглая скобка .$ Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 1;3 правая квадратная скобка .$
Д7
На рисунке изображён график функции $y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одной из первообразных некоторой функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале $левая круглая скобка минус 3;5 правая круглая скобка .$ Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 2;4 правая квадратная скобка .$
Д8
На рисунке изображён график функции y = F(x)  — одной из первообразных функции f(x), определённой на интервале (−3; 4). Найдите количество решений уравнения f(x) = 0 на отрезке [−2; 3].
Д9
На рисунке изображён график дифференцируемой функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале (−1; 10). Найдите количество решений уравнения $f' левая круглая скобка x правая круглая скобка = 0$ на отрезке [4; 8].
Д10
На рисунке изображён график функции $y=F левая круглая скобка x правая круглая скобка$ и одной из первообразных некоторой функции $f левая круглая скобка x правая круглая скобка ,$ определённой на интервале $левая круглая скобка минус 2;6 правая круглая скобка .$ Пользуясь рисунком, определите количество решений уравнения $f левая круглая скобка x правая круглая скобка =0$ на отрезке $левая квадратная скобка минус 1;5 правая квадратная скобка .$
Д11
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  $F левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 4 правая круглая скобка ,$ где  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$
Д12
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  $F левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 2 правая круглая скобка ,$ где  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$
Д13
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  $F левая круглая скобка 7 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 5 правая круглая скобка ,$ где  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$
Д14
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 9, знаменатель: 2 конец дроби x в квадрате минус 30x минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 8 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
Д15
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс 20x в квадрате плюс 201x минус дробь: числитель: 6, знаменатель: 7 конец дроби$   — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Д16
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  $F левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 2 правая круглая скобка ,$ где  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$
Д17
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 27 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 35, знаменатель: 6 конец дроби x в квадрате минус 42x минус дробь: числитель: 7, знаменатель: 4 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
Д18
На рисунке изображён график некоторой функции $y= f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс 18x в квадрате плюс 163 x минус дробь: числитель: 3, знаменатель: 4 конец дроби$   — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Д19
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  $F левая круглая скобка 8 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 3 правая круглая скобка ,$ где  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$
Д20
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус x в кубе минус 21x в квадрате минус 144x минус дробь: числитель: 11, знаменатель: 4 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
Д21
На рисунке изображён график некоторой функции $y = f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = дробь: числитель: 2, знаменатель: 3 конец дроби x в кубе плюс 16 x в квадрате плюс 129 x минус дробь: числитель: 10, знаменатель: 9 конец дроби$   — одна из первообразных функции f(x). Найдите площадь закрашенной фигуры.
Д22
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  $F левая круглая скобка 6 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 3 правая круглая скобка ,$ где  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$
Д23
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Функция  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка = минус дробь: числитель: 1, знаменатель: 10 конец дроби x в кубе минус дробь: числитель: 21, знаменатель: 10 конец дроби x в квадрате минус дробь: числитель: 72, знаменатель: 5 конец дроби x минус дробь: числитель: 4, знаменатель: 3 конец дроби$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$ Найдите площадь закрашенной фигуры.
Д24
На рисунке изображён график некоторой функции $y=f левая круглая скобка x правая круглая скобка$ (два луча с общей начальной точкой). Пользуясь рисунком, вычислите  $F левая круглая скобка 7 правая круглая скобка минус F левая круглая скобка 2 правая круглая скобка ,$ где  $F левая круглая скобка x правая круглая скобка$   — одна из первообразных функции  $f левая круглая скобка x правая круглая скобка .$

\(f(x)\)	Первообразная \(F(x)\)	\(f(x)\)	Первообразная \(F(x)\)
\(k\) (число)	\(kx\)	\(\sin x\)	\(-\cos x\)
\(x^n\), \(n\ne-1\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(\cos x\)	\(\sin x\)
\(\dfrac1x\)	\(\ln\|x\|\)	\(\dfrac{1}{\cos^2x}\)	\(\operatorname{tg}x\)
\(\dfrac1{\sqrt x}\)	\(2\sqrt x\)	\(\dfrac{1}{\sin^2x}\)	\(-\operatorname{ctg}x\)
\(e^x\)	\(e^x\)	\(a^x\)	\(\dfrac{a^x}{\ln a}\)

9.4. Первообразная

1. Что такое первообразная

2. Основное свойство первообразных

3. Таблица первообразных

4. Три правила нахождения первообразных

5. Первообразная и площадь. Формула Ньютона — Лейбница

6. Связь графиков \(f\) и \(F\)

Разобранные примеры